Литература / Олейник.Лекции по дискретной математике / вариант .doc / Глава 2 / Глава 2 / параграф 2
.2.doc2.2. Реализация булевых функций формулами
Пусть - некоторое подмножество функций из ;
- множество символов, используемых для обозначения переменных (алфавит переменных);
- множество символов, используемых для обозначения функций из множества (алфавит функций).
Далее в этом параграфе по умолчанию будем полагать, что , .
Дадим индуктивное определение формулы над :
-
Базис индукции. Каждое выражение вида , где - символ из , называется формулой над ;
-
Индуктивный переход. Выражение вида , где - либо символ переменной , либо формула над , называется формулой над .
Для краткой записи формул используются такие обозначения:
- формула над множеством ;
- формула над множеством функций .
В том случае, когда нужно обратить внимание на множество переменных, которые участвуют в построении формулы, пишут .
Пример 1. - формулы над множеством элементарных функций.
Сопоставим каждой формуле над функцию по следующему индуктивному правилу:
-
Базис индукции. Если совпадает с , где , то формуле сопоставим функцию .
-
Индуктивный переход. Если формула совпадает с , где - символ функции из , - либо формула над , либо символ переменной , то тогда, по предположению индукции, в первом случае сопоставляется функция из , а во втором случае сопоставляется тождественная функция . Сопоставим формуле функцию ; значение функции на каждом наборе находится как значение функции на наборе .
Если функция сопоставлена формуле над , то говорят, то формула реализует функцию и пишут .
Функцию , реализуемую формулой над множеством функций , будем называть суперпозицией функций .
Пример 2. Формула реализует функцию , заданную таблицей истинности:
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Пример 3. Формула реализует функцию , заданную таблицей истинности:
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
Заметим, что формулы и различны, а реализуемые ими функции и равны.
Если две формулы и реализуют равные функции, то они называются равносильными. Равносильность формул обозначают так: .
Замечание. Для упрощения записи формул введены следующие соглашения:
а) внешние скобки у формул можно опускать;
б) вместо можно писать , а вместо – или ;
в) связку принято считать сильнее любой двуместной связки, поэтому внешние скобки в выражении, над которым стоит знак « – », можно опускать;
г) связку принято считать сильнее и , поэтому выражения , , можно в скобки не брать.
Пример 4.
.
Теорема. Для формул над множеством имеют место следующие равносильности:
1. ;
2. ;
3.;
4. ;
5.;
6. ;
7. ; 8. ;
9. ; 10. ;
11. ; 12. ;
13. ; 14. ;
15. ; 16. ;
17.; 18. ;
19. .
Доказательство. Все равносильности можно доказать, действуя по одной схеме. Покажем, как можно рассуждать, на примере равносильности 10. Строим таблицы истинности функций, которые реализуются формулами, стоящими в левой и правой части доказываемого равенства.
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Как видим, формулы и реализуют равные функции и, следовательно, являются равносильными. ■
Дополним соглашение об упрощенной записи формул: в случае многократного применения ассоциативной операции скобки можно опускать. Например, формулу можно записать в виде . В дальнейшем будем также употреблять следующие обозначения: и .
Упражнение. Доказать, что имеют место равносильности:
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. .