
Литература / Олейник.Лекции по дискретной математике / вариант .doc / Глава 2 / Глава 2 / параграф 2
.2.doc2.2. Реализация булевых функций формулами
Пусть
- некоторое подмножество функций из
;
-
множество символов, используемых для
обозначения переменных (алфавит
переменных);
-
множество символов, используемых для
обозначения функций из множества
(алфавит функций).
Далее в этом параграфе по умолчанию
будем полагать, что
,
.
Дадим индуктивное определение
формулы над
:
-
Базис индукции. Каждое выражение вида
, где
- символ из
, называется формулой над
;
-
Индуктивный переход. Выражение вида
, где
- либо символ переменной
, либо формула над
, называется формулой над
.
Для краткой записи формул используются такие обозначения:
-
формула над множеством
;
-
формула над множеством функций
.
В том случае, когда нужно обратить
внимание на множество переменных,
которые участвуют в построении формулы,
пишут
.
Пример 1.
- формулы над множеством элементарных
функций.
Сопоставим каждой формуле
над
функцию
по следующему индуктивному
правилу:
-
Базис индукции. Если
совпадает с
, где
, то формуле
сопоставим функцию
.
-
Индуктивный переход. Если формула
совпадает с
, где
- символ функции из
,
- либо формула над
, либо символ переменной
, то тогда, по предположению индукции, в первом случае
сопоставляется функция
из
, а во втором случае
сопоставляется тождественная функция
. Сопоставим формуле
функцию
; значение функции
на каждом наборе
находится как значение функции
на наборе
.
Если функция
сопоставлена формуле
над
,
то говорят, то формула
реализует функцию
и пишут
.
Функцию
,
реализуемую формулой над множеством
функций
,
будем называть суперпозицией функций
.
Пример 2.
Формула
реализует функцию
,
заданную таблицей истинности:
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Пример 3.
Формула
реализует функцию
,
заданную таблицей истинности:
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
Заметим, что
формулы
и
различны, а реализуемые ими функции
и
равны.
Если две формулы
и
реализуют равные функции, то они
называются равносильными.
Равносильность формул обозначают так:
.
Замечание. Для упрощения записи формул введены следующие соглашения:
а) внешние скобки у формул можно опускать;
б) вместо
можно писать
,
а вместо
–
или
;
в) связку
принято считать сильнее любой двуместной
связки, поэтому внешние скобки в
выражении, над которым стоит знак « –
», можно опускать;
г) связку
принято считать сильнее
и
,
поэтому выражения
,
,
можно в скобки не брать.
Пример 4.
.
Теорема. Для формул над
множеством
имеют место следующие равносильности:
1.
;
2.
;
3.;
4.
;
5.;
6.
;
7.
;
8.
;
9.
;
10.
;
11.
;
12.
;
13.
;
14.
;
15.
;
16.
;
17.;
18.
;
19.
.
Доказательство. Все равносильности можно доказать, действуя по одной схеме. Покажем, как можно рассуждать, на примере равносильности 10. Строим таблицы истинности функций, которые реализуются формулами, стоящими в левой и правой части доказываемого равенства.
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Как видим, формулы
и
реализуют равные функции и, следовательно,
являются равносильными.
■
Дополним соглашение об упрощенной
записи формул: в случае многократного
применения ассоциативной операции
скобки можно опускать. Например,
формулу
можно записать в виде
.
В дальнейшем будем также употреблять
следующие обозначения:
и
.
Упражнение. Доказать, что имеют место равносильности:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
.