Литература / Олейник.Лекции по дискретной математике / вариант .doc / Глава 2 / Глава 2 / Введение к главе 2

Введем кванторные операци и над предикатами.

Пусть - одноместный предикат. Поставим ему в соответствие высказывание, обозначаемое (читается «для любого »), которое истинно тогда и только тогда, когда - тождественно истинный предикат. О высказывании говорят, что оно получено из предиката навешиванием квантора всеобщности по переменной .

Пусть - одноместный предикат. Поставим ему в соответствие высказывание, обозначаемое (читается «существует »), которое ложно тогда и только тогда, когда - тождественно ложный предикат. О высказывании говорят, что оно получено из предиката навешиванием квантора существования по переменной .

Пусть теперь - двуместный предикат, определенный на . Зафиксировав в нем переменную , , получим одноместный предикат с областью определения и множеством истинности . Навесим на полученный предикат квантор всеобщности (или квантор существования) – получим высказывание. Сопоставление любому значению переменной вполне определенного высказывания – это предикат от . Обозначим его (или ). О переменной будем говорить, что она связана соответствующим квантором.

Заметим, что аналогичным образом можно поступать и в случае -местного предиката.

Как и в алгебре логики высказываний, в логике предикатов вводится понятие формулы. Но в логике предикатов это понятие сложнее по форме и богаче по содержанию. За неимением времени определение формулы мы опустим, однако, надеясь на интуитивно верное восприятие данного понятия, сделаем ряд замечаний.

Замечания. 1. Выше для высказываний были сформулированы 19 равносильностей. Аналогичные равносильности имеют место и для предикатов.

2. Из определения кванторных операций вытекают следующие четыре равносильности:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Разноименные кванторы, вообще говоря, не коммутируют.

3. Кванторные операции, по существу, есть обобщение логических операций. Так, если предикат определен на конечном множестве , можем записать:

,

.

Предикаты широко используются для записи математических утверждений.

Пример 6. Следующая тавтология определяет предел последовательности: .

10