Курс лекций по высшей математике. 1 часть

Кривая симметрична относительно осей координат, так как уравнение содержит только четные степени х, у. В первой координатной чет-

Рис. 30

63

Полагая в каноническом уравнении у = 0, найдем точки пересечения гиперболы с осью ОХ: х = а. При х = 0 уравнение не имеет решений, то есть с осью ОУ гипербола не пересекается. Точки А1(-а; 0) и А2(а; 0) называются вершинами гиперболы. Фокальная ось (ось, на которой лежат фокусы) называется действительной осью гиперболы, а перпендикулярная ей ось – мнимой осью. Действительной осью называется также отрезок А1А2 и его длина 2а. Отрезок, соединяющий точки В1(0; -в) и В2(0; в), а также его длина 2в называются мнимой осью гиперболы. Числа а и в называются соответственно действительной и мнимой полуосями.

Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: чем меньше эксцентриситет, тем меньше отношение полуосей гиперболы, то есть тем сильнее вытянут ее основной прямоугольник относительно фокальной

Рассмотрим часть гиперболы, расположенную в первой четверти:

достаточно большом расстоянии от начала координат, сколь угодно

же абсциссой, лежащие соответственно на гиперболе и на прямой

уав х (рис. 31). Рассмотрим разность ординат этих точек:

Рис. 31

64

Очевидно, что при неограниченном возрастании х эта разность стремится к нулю, то есть точки М и N неограниченно сближаются. Из симметрии гиперболы относительно осей координат следует, что этим же свой-

ются асимптотами гиперболы.

На рисунке 32 показано, как с помощью основного прямоугольника гиперболы (это прямоугольник со сторонами длиной 2а и 2в, параллельными осями координат) построить асимптоты гиперболы. Из рисунка видно также взаимное расположение гиперболы и ее асимптот.

Рис. 32

Пример 15. Составить каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояние между ее фокусами равно 26, а эксцентриситет равен

1213 .

65

Парабола

Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Обозначим фокус F, расстояние от фокуса до директрисы р. Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось ОХ проходила через фокус перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к фокусу и начало координат делило пополам расстояние

между фокусом и директрисой (рис. 33). Тогда F р2 ; 0 , а уравнение

директрисы х р2 .

Рис. 33

66

Выведем уравнение параболы в выбранной системе координат. Пусть М(х, у) – произвольная точка параболы, МN – перпендикуляр, опущенный из точки М на директрису.

По определению МN = МF.

– каноническое уравнение параболы.

Уравнение содержит у лишь в четной степени, следовательно, кривая симметрична относительно оси ОХ. При х = 0 у = 0, то есть парабо-

(рис. 34). Ось симметрии параболы называется ее фокальной осью, точка 0 – вершиной параболы.

Рис. 34

Замечание. При другом выборе системы координат получаются канонические уравнения другого вида (рис. 35, 36, 37).

67

х2=2ру

Рис. 35

у2=–2рх

Рис. 36

х2=–2ру

Рис. 37

68

Общее уравнение кривой второго порядка

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид

Ах2 Вху Су2 Дх Еу F 0.

Уравнение такого вида может определять: 1) эллипс (в частности, окружность), 2) гиперболу, 3) параболу, 4) пару прямых (параллельных, пересекающихся либо совпадающих), 5) точку или не определять никакой линии.

В простейшем случае, при В = 0, тип кривой можно определить, выделив полные квадраты переменных.

лы с полуосями а = 4, в 22, центр которой находится в точке О1(-1;

3) (рис. 38).

Рис. 38

69

§ 12. Полярная система координат

Полярная система координат на плоскости определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, луча Ор, исходящего из этой точки и называемого полярной осью, и единицы масштаба (рис. 39).

Пусть М – произвольная точка плоскости. Обозначим = ОМ –

расстояние точки М от полюса, О М, Ор – угол, отсчитываемый

от полярной оси против часовой стрелки до направления ОМ. Числа и называются полярными координатами точки М, – полярный радиус,

– полярный угол точки М. По определению 0. Задание пары чисел

плоскости также будет однозначно соответствовать пара чисел ( , ). Исключение составляет полюс, для которого = 0, а угол не определен.

Рис. 39

Выберем декартову систему координат так, чтобы ее начало 0 совпадало с полюсом, а ось ОХ была направлена по полярной оси Ор (рис.40). Тогда полярные координаты ( , ) и декартовы координаты (х, у) точки М связаны соотношениями:

Из этих формул следует:

70

от полюса – постоянно, есть окружность, поэтому уравнение = а опре-

строить эту линию по точкам. Найти ее декартово уравнение, расположив систему Охy так, как показано на рис.40

Проведем лучи, соответствующие выбранным значениям , и на каждом из них отложим вычисленное значение . Полученные точки соединим плавной кривой (рис. 42). Построенная линия называется лемнискатой Бернулли. Чтобы перейти к декартовым координатам, за-

системе координат.

72