teoreticheskaja_mekhanika-konspekt_lekcij

Это равенство обусловливает теорему Ривальса об ускоре% нии точки тела, совершающего сферическое движение: уско% рение любой точки твердого тела при сферическом движении определяется как геометрическая сумма ее вращательного и осестремительного ускорений. Вектор wEB = ε ґ r имеет на% правление, перпендикулярное плоскости, проходящей через вектор углового ускорения ε . Радиус%вектор точки r напра% влен в ту сторону, откуда поворот вектора ε к вектору r на на% именьший угол виден происходящим против движения часо% вой стрелки.

Модуль вращательного ускорения:

WBE = ε r sin(ε, r) = hE ε,

где hЕ = МК1 — расстояние от точки М до оси углового ускоре% ния Е.

Вектор центростремительного ускорения

ωΩoc = ω ґ v

имеет направление, перпендикулярное векторам угловой скоро% сти ω и линейной скорости точки v. Иначе говоря, он направлен по перпендикуляру, опущенному из точки М на мгновенную ось Ω в ту сторону, откуда поворот вектора ω , условно отложенно% го в точке М к вектору v на наименьший угол, виден проходящим против движения часовой стрелки.

Модуль осестремительного ускорения:

ωΩoc = wv sin(w, v) = wv = hΩε,

где hΩ = MK 2 — расстояние от точки М до мгновенной оси Ω.

Модуль ускорения точки как диагонали параллелограмма ускорений можно определить по формуле:

w = (wEB )2 + (wΩoc )2 + 2wEB wΩoc cos(wEB ,wΩoc )

или

ε 2hE2 + hΩ2ω4 + 2hE hΩεω2 cos(wEB ,wΩoc ).

71

ЛЕКЦИЯ № 31. Теорема о скоростях точек

свободного твердого тела и ее следствия. Теорема об ускорениях точек свободного твердого тела

Рассмотрим случай движения свободного твердого тела, кото% рое имеет 6 степеней свободы. Положение тела относительно ка% кой%либо системы координат полностью определяется заданием 3%х точек, не лежащих на одной прямой, или заданием треуголь% ника, скрепленного с телом. При этом треугольник можно пе% реместить поступательным перемещением вместе с какой%либо точкой и поворотом относительно оси, которая проходит через эту точку. Любое движение свободного тела можно заменить со% вокупностью поступательных движений вместе с какой%либо точ% кой тела и вращений вокруг этой точки, совершаемых за то же время, что и истинное движение. Другим словами движение тела можно составить из поступательного движения и сферического относительно системы координат. Для относительного сфериче% ского движения: ω — угловая скорость, ε — угловое ускорение. Эти величины не зависят от выбора точки тела.

Пусть OaXYZ — неподвижная система координат, О — произ% вольно выбранный полюс. При этом система координат OXYZ полу% чается из OaXYZ поступательным перемещением, которое определя% ется вектором R0. Пусть Р — некоторая точка тела, ρ и r — вектор ОР, заданный своими компонентами в системах координат.

Теорема. Существует единственный вектор ω, называемый угловой скоростью тела, с помощью которого скорость v точки

Ртела может быть представлена в виде: v = v0 + ω ґ r,

где v0 — скорость полюса О; при этом вектор ω от выбора полюса не зависит.

Следствие 1. В каждый момент времени проекции скоростей любых 2%х точек твердого тела на прямую, проходящую через эти точки, равны между собой.

73

ЛЕКЦИЯ № 32. Составное движение точки

В кинематике точки рассматривается движение точки отно% сительно неподвижной системы координат. Пусть OXYZ неиз% менно связана с некоторым телом и движется относительно си% стемы координат Аξηζ , которая условно принята неподвижной. Движение точки М относительно неподвижной системы коор% динат называется абсолютным, а по отношению к подвижной системе координат — относительным. Скорости и ускорения точки, рассматриваемые по отношению к указанным системам, соответственно называются абсолютными и относительными. Движение подвижной системы координат OXYZ по отношению к неподвижной системе отсчета Аξηζ является для движущейся точки переносным движением, т. е. это движение точки по% движной системы координат, с которой в данный момент сов% падает движущаяся точка М. Соответственно скорости и ус% корения называются переносными. Движение подвижной системы координат можно охарактеризовать скоростью ее по% ступательного движения v0, например вместе с точкой М, и век% тором угловой скорости w ее вращения вокруг М.

Теорема о сложении скоростей. Абсолютная скорость va точки при сложном движении равна векторной сумме относительной vr и переносной ve скоростей. Пусть положение точки М в по% движной системе координат определяется радиус%вектором ρ, в неподвижной — радиус%вектором r, а положение начала по% движной системы координат относительно неподвижной — радиус%вектором r0, тогда r = r0 + ρ . Продифференцировав это выражение, получим:

dr/dt = dr0/dt + we ґ ρ + d' ρ /dt,

где е — переносное движение. На основании определения аб% солютной, относительной и переносной скоростей имеем:

va = dr/dt, vr = d' ρ dt, ve = v0 + we ґ ρ.

75

ЛЕКЦИЯ № 33. Составное движение

твердого тела

Для определения вектора ω найдем его проекции на подвиж% ные оси ОXYZ (рис. 6 а). Этот вектор можно представить в виде:

ω = ω1 + ω2 + ω3,

где численно

ω1 = ϕ, ω2 =ψ , ω3 = θ .

Проектируя обе части равенства

ω = ω1 + ω2 + ω3

на оси х, у, z, получим:

ωx = ω1x + ω2x + ω3x ,ωy = ω1y + ω2 y + ω3 y ,ωz = ω1z + ω2z + ω3z .

Проекции векторов ω1 и ω3:

ω1x = ω1y = 0, ω1z = ϕ, ω3x = θ cosϕ, ω3 y = −θ sin ϕ, ω3z = 0.

Чтобы определить проекции вектора ω2, проведем через оси ОZ1 и ОZ плоскость, которая пересечется с плоскостью ОXY вдоль ли% нии OL. Поскольку линия ОK перпендикулярна плоскости ZOZ1, то она перпендикулярна и линии OL ( KOL = 90°, a OLy = ϕ ). Таким образом, проектируя вектор ω2 на линию OL, а эту проекцию в свою очередь на оси ОX и ОY, получим:

ω2x =ψ sinθ sinϕ, ω2 y =ψ sinθ cosϕ, ω2z =ψ cos θ.

Подставляя все вычисленные проекции в правые части равенств

ωx = ω1x + ω2x + ω3x , ωy = ω1y + ω2 y + ω3 y , ωz = ω1z + ω2z + ω3z ,

77

найдем окончательно:

Эти уравнения называются кинематическими уравнениями Эй5 лера, определяющими проекции вектора угловой скорости тела ω на подвижные оси OXYZ через углы Эйлера; тем самым опре% деляется и вектор ω .

Таким же образом можно найти проекции вектора ω на непо% движные оси OX1Y1Z1. Соответствующие формулы имеют вид:

Используя эти равенства, можно найти проекции на непо% движные оси OX1Y1Z1 вектора ε . Поскольку значение ε дается формулой ε = dω /dt, то

ε x1 = ωx ,ε y1 = ωy ,εz 1 = ωz .

Эти проекции определяют вектор ε , следовательно, зная уравне% ния движения, можно по полученным формулам найти ω и ε . Век% тор угла ε равен

ε = εG1 + εG2,

где

характеризует скорость изменения вектора ω только по нап% равлению.

78

вершает относительное перемещение, определяемое вектором ММ'. Сама АВ, двигаясь вместе с подвижными осями OXYZ, перейдет за тот же период времени в новое положение А1В1. Точка m кривой АВ, с которой в момент времени t совпадает точка М, совершает пере% носное перемещение mm1 = Mm1. В результате точка N перейдет в положение M1 и совершит за время t абсолютное перемещение ММ'. Из векторного треугольника Mm1M1: MM1 = Mm1 + m1M1.

Разделив равенство на промежуток времени t, при t → 0 получим:

lim(MM1/ t) = lim(Mm1/ t) + lim(m1M1/ t). Однако по определению,

lim(MM1/ t) = vабс, а lim(Mm1/ t) = vпер, тогда при t → 0 А1В1 → АВ:

lim(m1M1/ t) = lim(MM'/ t) = vот.

Таким образом, vабс = vпер + vот. Следовательно, при составном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сум% ме относительной и переменной скоростей. Построенная при этом на плоскости фигура будет называться многоугольником угловых скоростей.

79

ЛЕКЦИЯ № 34. Основные понятия динамики.

Основные законы механики

В динамике силы рассматриваются по их динамическому дей% ствию, т. е. по изменению ими характеристик движения мате% риальных объектов. В классической механике, в основу которой положены законы Ньютона, пространство считается трехмерным эвклидовым пространством, свойства которого не зависят от дви% жущихся в нем тел. Положение точки в этом пространстве относи% тельно какой%либо системы отсчета обуславливается тремя неза% висимыми параметрами или координатами точки. В классической механике время универсально и не связано с пространством и движением материальных точек; во всех системах отсчета, дви% жущихся друг относительно друга, оно протекает одинаково.

Динамикой называется раздел теоретической механики, в ко% тором изучается механическое движение материальной точки, системы материальных точек и абсолютно твердого тела с учетом сил, которые действуют на эти движущиеся объекты. Сила в ди% намике характеризуется ускорением, которое она вызывает.

Первая задача динамики: по заданному механическому движе% нию тела определяют силы, под действием которых совершается это движение.

Вторая задача динамики: по заданным силам, приложенным к телу, и начальным условиям определяют движение, которое они вызывают.

В основе динамики лежат законы Ньютона и Галилея. Системы координат, в которых справедливы законы Ньютона, называ% ются инерциальными (галилеевыми), т. е. движущиеся поступатель% но, прямолинейно и равномерно относительно неподвижных звезд.

Закон инерции (закон Галилея): изолированная материальная точка движется равномерно и прямолинейно или находится в по% кое до тех пор, пока действие других тел на эту материальную точ%

ку не изменит ее состояние.

Изолированной называется материальная точка, взаимодей% ствием которой с окружающими телами пренебрегают. Свойством инертности называется свойство изолированной материальной точки сохранять состояние прямолинейного движения.

80