teoreticheskaja_mekhanika-konspekt_lekcij

ЛЕКЦИЯ № 61. Динамика плоского движения

твердого тела

При плоскопараллельном движении точки тела движутся в пло% скостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. Всякое движение твердого тела кинематически и динамически можно рас% сматривать состоящим из движения центра масс и движения тела относительно центра масс. Проведем через центр масс С тела пло% скость, параллельную неподвижной, и возьмем в этой плоскости не% подвижные оси OXY. Проведем через центр масс C оси CX'Y', парал% лельные осям OXY, и подвижные оси CX''Y'', скрепленные с телом. Тогда положение тела будет определятся положением центром масс C, т. е. радиус%вектором rc и углом ϕ между осями CX' и CX''.

Кинетический момент определяется равенством

G0 = ∑(mυ xmυvυ ),

так как rυ = rc + r' υ , где r' — радиус%вектор любой точки систе% мы по отношению к осям CX'Y', то

G = ∑ (rc + r 'υ )xmυ (drc /dt + dr 'υ /dt ) .

0

На основании этого равенства получим выражение для мо% мента G0 в виде

G0 = rcxMvc + ∑(r 'υxmυv 'υ ),

где vυ и v' υ — скорости центра масс по отношению к осям OXY и CX'Y' соответственно.

Из этого равенства следует, что кинетический момент системы относительно какого%нибудь неподвижного центра равен момен% ту относительно этого центра количества движения центра масс в предположении, что в нем сосредоточена масса всей системы, сложенному с кинетическим моментом системы относительно центра масс в ее движении по отношению к подвижной системе отсчета, перемещающейся вместе с центром масс поступательно.

141

ЛЕКЦИЯ № 62. Теорема об изменении

кинетического момента механической системы в относительном движении по отношению к центру масс

Рассмотрим применение теоремы о кинетическом моменте

кдвижению системы относительно центра масс. Теорема об из% менении кинетического момента при движении по отношению

косновной системе отсчета имеет вид:

dG0 /dt = ∑(rυxFυвн ) .

Так как rυ = rc + r' υ и учитывая, что

G0 = rcxMvc + ∑(r 'υxmυv 'υ ),

имеем:

d /dt ∑(r 'υxmυv 'υ )= ∑(r 'υxF υвн ),

или, обозначая

∑(r 'υ xmυv 'υ )=G 'c,

получим:

dG 'c /dt = ∑(r 'υxF υвн ),

т. е. при движении системы относительно центра масс произ% водная по времени от суммы моментов, количеств движения всех точек системы относительно центра масс равна сумме мо% ментов всех действующих внешних сил относительно того же центра. Таким образом, для движения относительно центра масс теорема об изменении кинетического момента выражается со% вершенно так же, как если бы центр масс был неподвижной точкой.

143

Возьмем за центр моментов точку O', которая движется отно% сительно основной системы отсчета. Количество движения системы Q и кинетический момент G0 относительно центра O яв% ляются главным вектором и главным моментом относительно то% го же центра. Если взять другой центр приведения O', то, очевид% но, главный вектор не изменится, а главный момент станет иным. В самом деле

Go = ∑(r 'υ xmυv 'υ )

иr' υ = rυ — OO', принимая во внимание, что

∑(mυvυ )= Q,

получим:

G0 ' = G0 −OO 'xQ.

Дифференцируя это равенство по времени и принимая во внимание, что dOO'/dt = v' есть скорость центра O' относительно основной системы отсчета и что

dQ /dt = ∑Fυвн,

получим следующую теорему об изменении кинетического мо% мента системы по отношению к центру O', движущемуся со ско% ростью v' относительно основной системы отсчета:

dG '/dt + υ ' xQ = ∑(r 'υxF υвн ).

При этом следует иметь в виду, что при вычислении G' скоро% сти точек системы берутся относительно основной системы от% счета, а моменты векторов берутся относительно подвижного центра O'; в правой части уравнения стоит сумма моментов внеш% них сил также относительно подвижного центра O'.

Рассмотрим твердое тело, состоящее из n материальных то% чек, находящееся в движении. В общем случае на каждую точку действуют внешние и внутренние силы. Обозначим равнодей% ствующую вех внешних сил через Fυв н, а равнодействующую

144

ЛЕКЦИЯ № 63. Плоское движение

твердого тела

Так как скорость точки твердого тела есть v = rxω , то кинети% ческий момент G0 твердого тела относительно неподвижной точ% ки O будет:

Спроектируем обе части этого равенства на подвижные оси. Проекция на ось X будет

Gx = p∑mi (yi2 + zi2 ) − q ∑mi xi yi − r ∑mi xi zi ,

где p, q, r — проекции угловой скорости на оси подвижной систе% мы координат.

Вводя компоненты симметричного тензора инерции относи% тельно неподвижной точки и повторяя вывод для осей Y и Z, по% лучим окончательно:

Gx = pJxx – qJxy – rJxz,

Gy = –pJyx + qJyy — rJyz,

Gz = –pJzx – qJzy + rJzz.

Формулы показывают, что проекции G являются линейными функциями проекций ω , коэффициентами которых являются компоненты тензора инерции. Обозначая тензор инерции симво% лом J, можно записать G = ω (J). Последнее равенство показы% вает, что вектор кинетического момента G есть вектор%функция угловой скорости ω.

Пусть твердое тело движется около неподвижной точки О. Кроме основной системы осей О ξηζ (неподвижной), возьмем систему подвижных осей OXYZ, связанных с телом и движущихся вместе с ним относительно неподвижной системы. Теорема об изменении кинетического момента относительно неподвижной системы дает уравнение dG/dt = M0.

146

Если da/dt есть производная какого%либо вектора a относи% тельно основной системы, а d a /dt — изменение a относительно подвижной системой, то da/dt = d a /dt + ω xa.

l ω

Получим: d G /dt + xG = M0.

Спроектируем обе части равенства на оси подвижной систе% мы, получим:

dGx/dt + qGz – rGy = Mx,

dGy/dt + rGx – pGz = My,

dGz/dt + pGy – qGx = Mz.

Второе упрощение Эйлера — выбор за оси подвижной системы ориентировки главных осей инерции тела относительно неподвиж% ной точки. При этом выборе формулы упростятся и запишутся:

Gx = pJxx, Gy = qJyy, Gz = rJzz.

В результате уравнения примут вид:

Jxxdp/dt + (Jzz – Jyy)qr = Mx,

Jyydq/dt + (Jxx – Jzz)rp = My,

Jzzdr/dt + (Jyy – Jxx)pq = Mz.

Система представляет дифференциальные уравнения движе% ния твердого тела около неподвижной точки; эти уравнения на% зывают динамическими уравнения Эйлера. Присоединяя к по% следним уравнениям три кинематических уравнения Эйлера

p = dψ /dt sinθ sinϕ + dθ /dt cosϕ, q = dψ /dt sinθ cosϕ − dθ /dt sinϕ, r = dψ /dt cosθ + dϕ /dt,

получим систему шести обыкновенных нелинейных дифферен% циальных уравнений первого порядка относительно шести неиз% вестных функций времени p, q, r, ϕ, ψ , θ. Общие интегралы дол% жны содержать шесть произвольных постоянных, которые определятся, если задать начальное положение и начальную угло% вую скорость тела.

Исключая из уравнений p, q, r, можно получить три диф% ференциальных уравнения второго порядка относительно трех эйлеровых углов ϕ, ψ , θ.

147

ЛЕКЦИЯ № 64. Понятие о гироскопе

Гироскопом (или волчком) обычно называют быстро вращаю% щееся вокруг оси симметрии однородное тело вращения, ось кото% рого может изменять свое положение в пространстве. У гироскопа обнаруживается целый ряд на первый взгляд парадоксальных явле% ний, называемых гироскопическими, обусловленных его быстрым вращением.

Всякое движение свободного твердого тела можно рассматри% вать как совокупность двух движений: поступательного и движе% ния (вращательного) около неподвижной точки (теорема Шаля). Твердое тело с одной неподвижной точкой имеет 3 степени сво% боды. Классическими параметрами являются три эйлеровых угла: ϕ, ψ , θ. Если они заданы для данного момента, то задано и по% ложение тела. Если же ϕ, ψ , θ известны в функции времени t, то известно будет положение тела в каждый момент времени, а сле% довательно, будет известно движение твердого тела.

Рассмотрим с кинематической точки зрения одно из движе% ний твердого тела с неподвижной точкой О, так называемую ре5 гулярную прецессию, т. е. такое сложное движение тела, когда те% ло вращается с постоянной по численной величине угловой скоростью ω1 вокруг оси Z, связанной с телом, а эта ось повора% чивается с постоянной угловой скоростью ω2 вокруг другой не% подвижной оси ζ , составляя с неподвижной осью ζ один и тот же угол. Ось Z называют осью собственного вращения, а ось ζ — осью прецессии.

Прецессия называется прямой, если угол между угловой ско%

Спроектируем обе части этого равенства на подвижные оси. Проекция на ось X будет:

148

ЛЕКЦИЯ № 65. Теория удара

Сущность явления удара заключается в том, что при ударе происходит конечное приращение скорости за весьма малый промежуток времени. Обозначая среднее значение ударной силы F в интервале τ через F*, получим (по теореме о среднем значе% нии) mv – mv0 = F* τ . Поскольку приращение количества движе% ния остается величиной конечной, то удобней оперировать не с ударными силами, а с их импульсами S, так что

S = ∫Fdt.

Следовательно, mv – mv0 = S, причем время удара τ считается величиной бесконечно малой. Также перемещение точки за вре% мя удара будет бесконечно мало.

Обозначим приращение количества движения mv – mv0, кото% рое может быть названо «приобретенным количеством движе% ния», через mv; тогда mv = S.

Результат можно сформулировать так: количество движения, приобретенное во время удара, равно ударному импульсу. Это со% отношение, эквивалентное уравнению Ньютона, является основ% ным уравнением теории удара.

Рассмотрим систему n материальных точек. Для каждой точки будет справедливо равенство (m υ v υ ) = S υ вн, так как для лю% бого внутреннего ударного импульса найдется противоположный по третьему закону Ньютона. Просуммируем это равенство по индексу υ (1, 2, …, n); получим:

∑ (mυvυ )= ∑Sυвн или Q ≡ ∑mυvυ,

где Q — количество движения системы.

Количество движения, приобретенное системой за время уда% ра, равно сумме всех внешних ударных импульсов, приложенных к системе.

Рассмотрим точку массы m, на которую наложены связи, ког% да она движется со скоростью v и встречает на своем пути непо%

150