teoreticheskaja_mekhanika-konspekt_lekcij

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ

МЕХАНИКА

ЛЕКЦИЯ № 1. Основные понятия

и аксиомы статики

Статика — это раздел теоретической механики, в котором устанавливаются методы преобразования одних систем сил в дру% гие, им эквивалентные, а также условия равновесия различных систем сил, действующих на твердое тело.

Материальная точка — это простейшая модель материального тела любой формы, размеры которого достаточно малы и которое можно принять за геометрическую точку, имеющую определен% ную массу.

Механическая система — это любая совокупность материаль% ных точек.

Абсолютно твердое тело — это механическая система, расстоя% ние между точками которой не изменяется при любых взаимо% действиях.

Сила — это одна из векторных мер действия одного мате% риального объекта на другой рассматриваемый объект. Сила ха% рактеризуется числовым значением, а также точкой приложения и направлением действия. Это векторная величина и обозначает%

ся она, например,F.

Система сил — это совокупность сил, действующих на рас% сматриваемое тело.

Система сил, эквивалентная нулю (равновесная система сил), —

это такая система сил, действие которой на твердое тело или точ% ку, находящиеся в покое или движущиеся по инерции, не приво% дит к изменению его состояния.

Существуют следующие аксиомы, при формулировке которых предполагается, что на твердое тело или материальную точку дей% ствуют силы, которые указаны в соответствующей аксиоме.

1.О равновесии системы двух сил. Для равновесия системы 2%х сил, приложенных к точкам твердого тела, необходимо и доста% точно, чтобы эти силы были равны по модулю и действовали вдоль одной прямой, проходящей через точки их приложения,

впротивоположных направлениях (рис. 1а).

2.О добавлении системы сил, эквивалентной нулю. Если на твер%

дое тело действует система сил, то к ней можно добавить систему

3

ЛЕКЦИЯ № 2. Сходящиеся силы на плоскости

Система сходящихся сил — это такая система сил, линии дей% ствия которых пересекаются в одной точке — центре пучка. Пусть

задана произвольная система сходящихся сил F1, F2, ..., Fn, прило% женных к твердому телу. Перенесем эти силы как скользящие векторы в точку пересечения линий их действия, а потом, вос% пользовавшись аксиомой о параллелограмме сил, определим рав% нодействующую этих сил. Равнодействующую такой системы можно определить графически и аналитически. Сложение двух сходящихся сил графически осуществляется по правилу паралле% лограмма, причем

R12 = F1 + F2 .

По правилу параллелограмма складываем силы R12 и F3, и по% лучаем их равнодействующую

R123 = R12 + F3 = F1 + F2 + F3.

Далее получим

R= ∑Fi

i =1n

(рис. 2а). Для аналитического определения равнодействующей силы выбирают систему прямоугольных осей координат. Нужно воспользоваться теоремой из геометрии о том, что проекция за% мыкающей любого многоугольника на какую%либо ось равна ал% гебраической сумме проекций составляющих его сторон на ту же ось. Для плоской системы сходящихся сил одну из координатных осей (обычно OZ) выбирают перпендикулярной силам. Таким об% разом, каждая из сил пучка даст проекцию на эту ось, равную ну% лю, а значит, будет равна нулю и проекция равнодействующей силы на ось OZ. После этого проецируют векторы векторного ра%

5

венства на прямоугольные оси координат. Тогда в соответствии с теоремой о проекции замыкающей получится

По проекциям определяют модуль равнодействующей силы и косинусы углов ее с осями координат по формулам

и

Следовательно, система n сходящихся сил эквивалентна од%

ной силе R , которая и является равнодействующей этой системы сил. Процесс последовательного применения правила параллело% грамма означает по сути построение многоугольника из заданных сил. В силовом многоугольнике конец одной из сил служит нача%

лом другой. Равнодействующая сила R в силовом многоугольни% ке соединяет начало первой силы с концом последней, т. е. изо% бражается замыкающей силового многоугольника (рис. 2б). Для пространственной системы сходящихся сил силовой много% угольник является пространственной фигурой, а для плоской — плоской фигурой. Для равновесия системы сходящихся сил, приложенных к твердому телу, замыкающая силового много% угольника, изображающая равнодействующую силу, должна об% ратиться в точку. Другими словами, конец последней силы в мно% гоугольнике должен совпадать с началом первой силы. Этот силовой многоугольник называют замкнутым.

Геометрическое условие равновесия системы сходящихся сил:

для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточ%

но, чтобы равнодействующая сила равнялась нулю R = 0.

Аналитическое условие равновесия системы сходящихся сил:

для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточ% но, чтобы алгебраические суммы проекции этих сил на взаимно перпендикулярные оси равнялись нулю.

6

ЛЕКЦИЯ № 3. Равнодействующая сходящихся

сил на плоскости. Леммы о нулевых стержнях

В общем случае система сходящихся сил приводится к одной — равнодействующей этой системы сил. Для аналитического определе% ния равнодействующей силы нужно выбрать систему прямоугольных осей координат, а потом воспользоваться теоремой из геометрии. Эта теорема гласит: проекция замыкающей любого многоугольника на какую%либо ось равна алгебраической сумме проекций составляю% щих его сторон на ту же ось. Равнодействующая сила при равновесии системы R = 0 представляет собой замыкающую силового много% угольника, или векторную сумму сил, однако, с другой стороны,

R= ∑Fi .

i =1n

Сначала необходимо спроецировать векторы векторного ра% венства на прямоугольные оси координат. Тогда в соответствии с теоремой о проекции замыкающей получится:

Следовательно, условия равновесия системы сходящихся сил в аналитической форме будут

Иными словами, для равновесия системы сходящихся сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекции этих сил на каждую из двух прямоугольных ко% ординат осей, лежащих в плоскости, были равны нулю. Здесь уравнение равновесия сил выражается формулой R = 0.

Фермы — это конструкции, которые состоят из прямолиней% ных стержней, соединенных между собой шарнирами и образую% щих неизменяемую геометрическую фигуру. Рассчитывая фермы,

8

весом стержней пренебрегают и считают, что шарниры располо% жены только на концах стержней. Обычно фермы делят на мосто% вые, стропильные и крановые.

Существует определенная зависимость между количеством стержней (n) и количеством шарниров (k). В основном треуголь% нике имеются 3 стержня и 3 узла. При этом для образования од% ного узла требуются 2 стержня. Значит, для образования (k – 3) узлов нужно 2(k – 3). Общее число стержней

n = 2 (k – 3) + 3,

тогда

n = 2k – 3.

Нулевыми называются стержни, ненагруженные силой, на кон% цах которых находятся точечные шарниры и весом которых можно пренебречь.

Способ вырезания узлов заключается в том, что каждый узел вы% резается из фермы и рассматривается отдельно, как находящийся в равновесии под действием приложенных к нему внешних сил и усилий разрезанных стержней. Система сил, действующих на стержень, — это плоская система сходящихся сил, которая находит% ся в равновесии. В соответствии с этим силовой многоугольник, построенный на этих силах, должен быть замкнутым. Построение силовых многоугольников всегда начинают с узла, в котором схо% дятся 2 стержня. Отсюда уже можно будет найти усилия в этих двух стержнях, а затем переходить к следующему узлу и т. д. Каждый последующий узел следует выбирать так, чтобы в нем сходилось не более двух стержней с неизвестными усилиями. Если усилия разре% занных стержней направлены по стержням в сторону узла, то их на% зывают сжимающими, а если наоборот — растягивающими.

Леммы о нулевых стержнях.

1.Если в узле, не нагруженном внешними силами, сходятся три стержня, и которых два направлены вдоль одной прямой, то усилие в третьем стержне равно нулю, т. е. он является нулевым.

2.Стержень находится в равновесии под действием двух сил, приложенных в шарнирах, где силы равны по величине и противо% положны по направлению, т. е. его реакция также будет направлена по оси стержня.

9

ЛЕКЦИЯ № 4. Теория пар сил,

лежащих в одной плоскости. Момент силы относительно точки на плоскости

Система двух равных по модулю параллельных сил, направлен% ных в противоположные стороны, называется парой сил. Под действием пары сил свободное твердое тело выходит из состояния

равновесия. Пара сил, как правило, прилагается к телу (F1, F2), кото% рое должно вращаться. В связи с этим пару сил нельзя заменить од% ной силой, а значит, у нее нет равнодействующей. Подобные силы имеют свойства обычных сил. Плоскость, в которой расположены пары сил, называется плоскостью действия пары сил N. Кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары называется плечом пары h. Алгебраический момент пары сил — это взятое со знаком плюс или минус произведение одной из сил пары на плечо пары сил:

M = M (F1, F2 ) = ±Fd.

Алгебраический момент пары сил имеет знак плюс, если пара сил стремится вращать тело против часовой стрелки, и знак минус, если пара сил стремится вращать тело по часовой стрелке. Ал% гебраический момент пары сил не зависит от переноса сил пары вдоль своих линий действия и может быть равен нулю, если линии действия пары сил совпадают. Произведение модуля силы на пле% чо силы относительно этой точки

M 0 (F ) = ±Fh

называют алгебраическим моментом пары относительно точки. Пле5 чо пары h относительно точки — это кратчайшее расстояние между этой точкой и линией действия силы, т. е. длина отрезка перпенди% куляра, опущенного из точки на линию действия силы. Две пары сил называются эквивалентными, если их действие на твердое тело одинаково при прочих равных условиях, а также если они имеют одинаковые по модулю и направлению векторные моменты.

Теорема об эквивалентности пары сил. Пару сил, действующую на твердое тело, можно заменить другой парой сил, расположен%

10