1.9. Включение rL-цепи на переменное напряжение

Пусть дана схема (рис 1.36) и параметры:

Определить: i(t) = ?

Начальные условия:

.

Дифференциальное уравнение будет иметь вид:

Общее решение:

i_{св =}.

Корень:

.

После завершения переходного процесса определим принужденный ток комплексным методом по схеме (рис. 1.37):

.

Перейдем комплекс тока во временную область:

.

Решение примет вид:

.

При найдем А:

,

отсюда

.

Построим возможный график переходного процесса тока i(t) (рис. 1.38)

1.10. Расчет переходных процессов в цепях с синусоидальными источниками классическим методом

Пусть для цепи (рис. 1.39) дано:.

Определить:

Решение

Начальные условия при :

;

.

Определим эти токи комплексным методом по схеме замещения (рис. 1.40):

.

Тогда при токи равны:

.

Напряжение на конденсаторе:

.

Приt = 0_-

.

По закону коммутации:

.

При t = 0₊ составим схему замещения (рис. 1.41), где .

Составим уравнения законов Кирхгофа:

После решения этих уравнений получаем:

; ;.

Приt →∞ определим принужденные составляющие: .

Для этого составим схему замещения (рис. 1.42). Комплексным методом определим токи и переведем их во временную область:

;

;

.

Находим корень характеристического уравнения. Для этого источник исключаем (рис. 1. 43), ключ оставляем замкнутым.

После преобразований (рис. 1.44), получим сопротивление:

или

,

тогда корень равен:

.

Решение для первого тока:

.

Постоянную интегрирования А найдем при :

;

.

Решение для второго тока аналогично:

;

.

Третий ток найдем по первому закону Кирхгофа:

.

1.11. Расчет переходных процессов при некорректной коммутации классическим методом

Пусть задана схема (рис. 1.45). При размыкании ключа рассмотрим переходный процесс.

Так как при t = 0_- ток первого индуктивного элемента равен: , а второго -, то при размыкании ключа эти токи в первый момент не должны измениться. С другой стороны по закону коммутации:.

Используя обобщенный закон коммутации на индуктивности, найдем ток:;;.

Дальнейший расчет осуществляют обычным классическим методом. Принужденный ток: . Характеристическое уравнение:. Корень:. Решение для тока:. Определение постоянной интегрирования при:,

Если , то

График переходного процесса приведен на рис.1.46

1.12. Решение дифференциальных уравнений методом Эйлера

Возьмем дифференциальное уравнение:

и приведем его к форме Коши: .

Приведем производную к конечным разностям: . Приращение, где к – номер шага,,h – шаг интегрирования, равный постоянной величине. Тогда решение для к+1 шага примет вид: и их первые значения :

к = 1

к = 2

Точность расчета определяется шагом h.

Шаг h связан с постоянной переходного процесса (для рассматриваемого случая).

В настоящее время получил наибольшее распространение в машинных расчетах метод Рунге – Кутта.

1.13. Практическое приложение к классическому методу анализа переходных процессов

1.1* Рассчитать переходной процесс в цепи (рис.1.47), если U₀=100 В; u_c(0)=40 B; r=100 Ом; С=100 мкФ. Построить графики напряжения на конденсатореu_c(t) и тока в цепи- i(t).

Решение: Дифференциальное уравнение , описывающие переходной процесс в рассматриваемой цепи, имеет вид:ir+u_c=U₀. Так как ток :, тоПолучили неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Его решение ищем в виде: u_c=u_cпр+u_cсв=u_спр+Аe^pt, гдеu_спр - принужденная составляющая напряжения на емкости;u_ссв - свободная составляющая напряжения; А - постоянная интегрирования; p-корень характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение имеет вид: Crp+1=0. Его корень равен: p= -1/rC= -1/(10^{2 .}10^-4)= -100 1/c.

Принужденное значение напряжения на конденсаторе: u_{с пр}=U_o=100B.

Постоянную интегрирования находим из уравнения, составленного для момента времени t=0₊(сразу после замыкания ключа):u_c(0)=u_cпр(0)+u_{с св}(0); 40=100+A;A=-60B.

Уравнение для напряжения на конденсаторе имеет вид: u_C(t)=100 - 60e^-100t,B.

Ток через конденсатор:

Графики тока и напряжения на емкости представлены на рис.1.48.

1.2. В цепи (рис.1.49.) U_о=120В; E=80 В r=1 кОм ; C=10 мкФ. Рассчитать напряжение и ток на конденсаторе после коммутации (ключ перебрасывается из нижнего положения в верхнее), а также определить в какой момент времени напряжение конденсатора будет равно нулю?

1.3. Определить ток в цепи (рис.1.50) и напряжение на индуктивности после коммутации, если E₁=20 B E₂=60 B; r=40 Ом; L=0,04 Гн.

1.4. Качественно построить кривые напряжений U_C1(t) иU_C2(t) после замыкания ключа (рис.1.51.) для двух случаев : а)R>>r(C₁=C₂=C) б)r>>R

1.5. Определить величину R, в цепи (рис.1.52.) при котором время переходного процесса будет минимальным, если E=100 B; r=25Ом; L=0,5 Гн, а катушка индуктивности рассчитана на напряжение до 500 В?

1.6* Рассчитать все токи и напряжения на конденсаторе в цепи (рис. 1.53). Входное напряжение=30 В; r=100 Ом; С=100мкФ.

Решение:

Система дифференциальных уравнений для цепи после коммутации имеет вид:

Сводим систему к одному уравнению. За неизвестную величину примем напряжение , так как напряжение на ёмкости подчиняется закону коммутации:

.

Учитывая, что , получаем дифференциальное уравнение с одним неизвестным:.

Характеристическое уравнение имеет вид: .

Его корень: .

Решение дифференциального уравнения имеет вид: ,

где принуждённое значение напряжения на ёмкости равно: .

Постоянную интегрирования Aнайдем из уравнения, записанного для t=0:

; ; 30=20+A; A=10 B.

Решение для напряжения на конденсаторе:

, В.

Ток через конденсатор:

А.

Ток можно найти по закону Ома:

, А.

Ток в неразветвлённой части цепи определяется по первому закону Кирхгофа: , А.

Следует отметить, что избранный метод не является наилучшим с точки зрения трудозатрат. Эту же задачу можно решить проще, используя метод входного сопротивления, позволяющий получить характеристическое уравнение, не составляя системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим, как это сделать.

Запишем комплексное входное сопротивление цепи после коммутации: . Заменим jна р:.

Приводим дробь к общему знаменателю:

.

Приравниваем Z(p) к нулю, при этом числитель дроби будет равен нулю:

2rpC+3=0.

Получили характеристическое уравнение. Дальнейшее решение задачи проводится так же, как показано выше.

Метод входного сопротивления целесообразно применять всегда, когда цепь достаточно сложна и, особенно, если она содержит несколько реактивных элементов.

1.7. Рассчитать переходный процесс в цепи (рис. 1.54), возникающий после коммутации. Определить и, если;Ом; С=250 мкФ.

1.8. Определить ток в цепи (рис. 1.55) после коммутации, если; r=10 Ом; L=0.1 Гн.

1.9. Найти ив цепи (рис. 1.56) после коммутации, если:;Ом;.

1.10* Найти ток в индуктивности, если: Схема электрической цепи показана на рис.1.57.

Решение:Эту задачу целесообразно решать путём сведения к нулевым начальным условиям.

Определим напряжение на разомкнутом ключе:

Далее закорачиваем источник и определяем сопротивление цепи относительно зажимов а-б: .

Приравнивая Z(p) к нулю, получаем характеристическое уравнение:

.

Далее решаем задачу классическим методом:

;

Принуждённое значение тока находим из уравнения, записанного для. ().

Получаем уравнение для тока:

Напряжение на индуктивности:

1.11. Определить напряжение на ёмкости (рис. 1.58) и ток через ёмкость после замыкания ключа, если U₀=100В; r₁=40 Ом; r₂=60 Ом; С=50 мкФ.

1.12. Найти токи напряжениев цепи (рис. 1.58) после коммутации, если:;Ом;.

1.13^*Рассчитать ток в цепи (рис. 1.59) после размыкания ключа. В цепи действует синусоидальный источник напряжения:В;r₁=30 Ом;r₂=70 Ом;L=0,2 Гн.

Решение:

Индуктивное сопротивление цепи равно:

Комплексное сопротивление до коммутации:

.

Начальное значение тока (в первый момент после размыкания ключа):

Принуждённое значение тока в цепи:

В общем виде ток в цепи после коммутации: i(t)=i_пр(t)+Ae^pt.

При t=0 имеем: Откуда:Характеристическое уравнение для цепи:

r₁ + r₂ + Lp=0;

Решение задачи: .

1.14. Определить, как будет меняться напряжение на конденсаторе после размыкания ключа (рис. 1.60). Напряжение на входе цепи: . Параметры цепи: r₁=200 Ом; r₂=100 Ом; С=120 мкФ.

1.15. Цепь r, L (r=10 Ом; L=0,2 Гн) включается на синусоидальное напряжение При какой начальной фазе напряжения -в цепи будет наблюдаться максимальный бросок тока? В каком случае переходного процесса в цепи не будет?

16. Определить максимально возможное напряжение на конденсаторе в цепи r, C, которая включается на синусоидальное напряжение , еслиr=60 Ом; С=18 мкФ. При какой начальной фазе напряжения источника переходного процесса не будет?

1.17.^*Определить начальные значения напряжения на катушке индуктивности и ток через ёмкость, в цепи (рис. 1.61), еслиU₀=200B;r₁=100 Ом;r₂=100 Ом;r₃=50 Ом.

Решение:Записываем систему уравнений для момента времениt=0₊(сразу после замыкания ключа) по законам Кирхгофа.

В системе уравнений подчеркнуты независимые начальные условия – ток через индуктивность и напряжение на ёмкости.

Причём,

Преобразуем исходную систему уравнений для определения начальных условий:

Подставляем полученный результат в последнее уравнение исходной системы:

Таким образом, начальное значение тока через ёмкость равно 0,67 , а напряжение на индуктивности – 67 В.

1.18. Определить значения всех токов и напряжений приt=0₊для цепи (рис.1.62), еслиU₀=120B;r₁=100 Ом;r₂=20 Ом.

1.19. Найти значения токов i₂(0₊)иi₃(0₊) в цепи (рис.1.63) приU₀=160B;

r₁=40 Ом;r₃=80 Ом.

1.20. Найти начальные значения напряжения на катушках индуктивности после замыкания ключа (рис.1.64), еслиU₀=200B;r₁=200 Ом;r₂=100 Ом.

1,21* Рассчитать переходный процесс в цепи (рис.1.65) классическим методом. Определить все токи и напряжения после замыкания ключа, если: U₀=100 B; r₁=10 Ом; r₂=90 Ом; L=0,2 Гн; С=100 мкФ.

Решение:

Записываем выражение для выходного сопротивления цепи после коммутации:

Приравнивая Z(p) к нулю, получаем характеристическое уравнение:

Подставляем в характеристическое уравнение численные значения параметров цепи:

.

Корни характеристического уравнения оказались комплексными сопряжёнными. Это означает, что переходный процесс в цепи имеет колебательный характер.

Напряжение на ёмкости находим в виде: .

Здесь: u_cпр – принуждённое значение напряжения на конденсаторе;- действительная часть корня характеристического уравнения (=80,5);- мнимая часть корня (=222); А и- постоянные интегрирования.

Таким образом, система уравнений для определения постоянных интегрирования имеет вид:

Второе уравнение можно записать, раскрыв синус суммы двух аргументов:

Либо: Так как А=10/sin, то:

Зная напряжение u_c(t), можно найти все остальные токи и напряжения в цепи.

Так например:

Примечание: Для расчёта кривых токов и напряжений и построения графиков углы в формулах должны быть записаны не в градусах, а в радианах.

1.22. Определить характер переходного процесса в цепи (рис.1.66), если r₁=100 Ом; r₂=2 Ом; L=0,1 Гн; С=200 мкФ.

1.23. Рассчитать u_c(t) после замыкания ключа (рис.1.67), если U₀=200 B; r=200 Ом; L=1 Гн; С=100 мкФ.

1.24. Рассчитать ток в цепи после размыкания ключа (рис.1.68). U₀=10 B; L=0,5 Гн; С=20 мкФ; r₁=20 Ом; r₂=30 Ом.

1.25. Дано: U₀=40 B; r=20 Ом; L=0,1 Гн; С=100 мкФ. Рассчитать u_c(t) иi(t) после размыкания ключа (рис. 1.69).