Закон коммутации на емкости

Рассмотрим закон коммутации на емкости по аналогии с законом коммутации на индуктивности. Напряжение на емкости при корректной коммутации не может изменяться скачком:

.

Заряд конденсатора связан с его напряжением: q = CU

В случае некорректной коммутации (рис. 1.5) должны быть равны суммарные заряды: .

Пусть , а (либо)

Вэтом случаетак же, как и при коммутации на емкости, при замыкании ключа возникает дуга, которая будет гореть до тех пор, пока напряжения на конденсаторах не сравняются.

Суммарные заряды равны:

,

отсюда, напряжение в первый момент после коммутации равно:

.

1.3. Отключение rС-цепи от постоянного напряжения

Расчеты начнем с момента времениt = 0_-. При замкнутом ключе К (рис. 1.6) напряжение на конденсаторе равно:

= U₀.

По закону коммутации:

.

Размыкаем ключ. Будет наблюдаться разряд конденсатора, который описывается уравнением:

.

Решение этого уравнения имеет вид:

.

Частного решения нет, так как правая часть этого уравнения равна нулю. Характеристическое уравнение имеет вид:

.

Корень характеристического уравнения:

.

Приопределим постоянную интегрирования:

,

отсюда

.

Тогда решение примет вид:

,

а его временной график приведен на рис.1.7.

1.4. Включение rС-цепи на постоянное напряжение

Используем схему (рис. 1.6). Ключ замыкается.

Дано: параметры

Определить:

Решение

Начальные условия: .

Рассмотрим контур включения rC (см. рис. 1.6) на постоянное напряжение U₀. Уравнение процесса имеет вид:

.

Решение этого уравнения:

.

Если схема питается источником постоянного напряжения, можно принужденное решение определять, устремляя время (t) к бесконечности (). Характеристическое уравнение имеет вид:

.

Корень этого уравнения, постоянная переходного процесса и время переходного процесса соответственно равны:

.

Постоянную интегрирования определим при t = 0₊:

.

Окончательное решение:

.

На рис. 1.8 приведен временной график напряжения на конденсаторе при замыкании ключа.

1.5. Отключение rL-цепи от постоянного напряжения

Коммутация в цепи (рис. 1.9) корректная. Рассчитаем переходный процесс при размыкании ключа. Начальные условия:

.

По закону коммутации: . Уравнение переходного процесса имеет вид:

.

Характеристическое уравнение:

.

Корень, постоянная и время переходного процесса соответственно равны:

.

Решение имеет вид:

.

Из начальных условий найдем постоянную интегрирования:

или окончательно:

.

Напряжение на сопротивленииr₀:

.

Напряжение на индуктивности:

.

Построим временные графики тока и напряжения на индуктивности при размыкании ключа (рис. 1.10) и при замыкании ключа (рис. 1.11).

1.6. Расчет переходных процессов в цепях первого порядка классическим методом

Если в цепи содержится только один реактивный элемент, то ее называют цепью первого порядка.

Рассмотрим задачу анализа на примере (рис. 1.12). Найдем все токи.

Необходимо определить начальные условия при t = 0_-. Схема (рис. 1.12) при этом примет вид (рис. 1.13). Ток можно определить по второму закону Кирхгофа:

.

По закону коммутации:

.

Приформируется схема (рис. 1.14), или после преобразований (рис. 1.15), для которой можно составить уравнения по законам Кирхгофа:

Приведем систему уравнений к одному дифференциальному уравнению первого порядка относительно тока :

;

;

.

Решение будем искать в виде:

.

При t = 0₊

.

Корень характеристического уравнения:

;

ток:

,

тогда

i₁₂ (t) = i_L (t) + i₃ (t).

Эту же задачу решим, не составляя дифференциальных уравнений и не решая их. Решение проделаем по пунктам.

1. Начальные условия:

.

Для остальных токов при

Решая эту систему алгебраических уравнений, можно найти начальные условия для всех величин (читатель может сделать это самостоятельно)

2. При исходная схема (рис 1.16) примет вид (рис.1.17), тогда конечные значения токов равны:

.

3. Определим р. Для этого воспользуемся искусственным приемом, который заключается в следующем: реактивный элементL в электрической цепи заменяем фиктивной комплексной индуктивностью: , а заменяем на р, тогда ; источники исключаем.

В результате, для рассматриваемой цепи получаем схему (рис. 1.18). Определяем эквивалентное сопротивление полученной схемы, разорвав ее в любом месте. Здесь удобно разорвать ветвь с индуктивностью (рис. 1.19). Определим комплексное сопротивление этой разорванной цепи с учетом замен.

С

r₁

опротивления,исоединены параллельно. Их эквивалентное сопротивление равно:

,

тогда

.

После преобразований получим схему (рис. 1.20).

При условии равенства нулю этого сопротивления определяем р:

;

.

Сравнивая корни, убеждаемся в том, что они одинаковы:

.

Осталось найти решение:

.

Другие токи:

;

.

р – во всех решениях один и тот же.

Постоянные интегрирования А,В и С находятся при t = 0₊