5.3 Теоретические вопросы к защите расчетного задания № 5

1. Что называют случайной величиной?

2. Определите разницу в понятиях «переменная» и «случайная величина».

3. Что называют законом распределения случайной величины?

4. Какую случайную величину называют дискретной?

5. Как задают закон распределения дискретной случайной величины?

6. Что называют многоугольником распределения?

7. Как определяется функция распределения случайной величины?

8. Какими свойствами обладает функция распределения случайной величины?

9. Что называют числовыми характеристиками (или параметрами) случайной величины?

10. Как определяется и что характеризует математическое ожидание дискретной случайной величины?

11. Как выглядит формула, определяющая дисперсию дискретной случайной величины?

12. Что такое среднее квадратическое отклонение случайной величины?

13. Что характеризует среднее квадратическое отклонение и в чем смысл его введения?

14. Какое распределение вероятностей называется биномиальным распределением?

15. Какой смысл имеет случайная величина, распределенная по биномиальному закону с параметрами n и р?

16. Какое распределение вероятностей называется гипергеометрическим распределением?

17. Какими параметрами характеризуется гипергеометрическое распределение?

18. Какой смысл имеет случайная величина, распределенная по гипергеометрическому закону?

19. Какое распределение вероятностей называется геометрическим распределением? Чем объясняется такое название распределения?

20. Какой смысл имеет случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром р?

21. Какое распределение вероятностей называется распределением Пуассона?

22. Почему закон распределения Пуассона также называют законом «редких событий»?

23. Как выглядят формулы для математического ожидания и дисперсии биномиального распределения?

24. Как выглядят формулы для математического ожидания и дисперсии геометрического распределения?

25. Как выглядят формулы для математического ожидания и дисперсии распределения Пуассона?

6 Непрерывные случайные величины

6.1 Теоретические сведения и примеры решения задач

Закон распределения непрерывной случайной величины задается функцией распределения:

или плотностью распределения:

,

где и удовлетворяетхарактеристическому свойству:

.

Выражение для функции распределения:

Выражения для вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал (a, b):

,

или

Математическое ожидание непрерывной случайной величины:

.

Дисперсия непрерывной случайной величины:

.

Среднее квадратическое отклонение: .

Задача. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти коэффициент А и числовые характеристики Х: ,и.

Решение. Сначала найдем плотность распределения . Так как, то

Коэффициент А определим из характеристического свойства плотности распределения: .

Имеем: или, отсюда. Таким образом,

Вычислим математическое ожидание:

Вычислим дисперсию рассматриваемой случайной величины:

Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х:

.

6.2 Варианты задачи № 6

1. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:

Найти:

а) значение параметра a;

б) плотность распределения вероятностей ;

в) математическое ожидание;

г) дисперсию;

д) среднее квадратическое отклонение;

е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке ;

ж) построить графики функций и F(x).

2. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины X:

Найти:

а) значение параметра A;

б) функцию распределения F(x);

в) математическое ожидание;

г) дисперсию;

д) среднее квадратическое отклонение;

е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке ;

ж) построить графики функций и F(x).

3. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:

Найти:

а) значение параметра A;

б) плотность распределения вероятностей ;

в) математическое ожидание;

г) дисперсию;

д) среднее квадратическое отклонение;

е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке ;

ж) построить графики функций и F(x).

3. Дана функция распределения непрерывной случайной величины X:

Найти:

а) значение параметра A;

б) плотность распределения вероятностей ;

в) математическое ожидание;

г) дисперсию;

д) среднее квадратическое отклонение;

е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке ;

ж) построить графики функций и F(x).

3. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:

Найти:

а) значение параметра A;

б) плотность распределения вероятностей ;

в) математическое ожидание;

г) дисперсию;

д) среднее квадратическое отклонение;

е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке ;

ж) построить графики функций и F(x).

3. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:

Найти:

а) значение параметра A;

б) плотность распределения вероятностей ;

в) математическое ожидание;

г) дисперсию;

д) среднее квадратическое отклонение;

е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке ;

ж) построить графики функций и F(x).

3. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:

Найти:

а) значение параметра A;

б) плотность распределения вероятностей ;

в) математическое ожидание;

г) дисперсию;

д) среднее квадратическое отклонение;

е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке ;

ж) построить графики функций и F(x).

3. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины X:

Найти:

а) значение параметра a;

б) функцию распределения F(x);

в) математическое ожидание;

г) дисперсию;

д) среднее квадратическое отклонение;

е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке ;

ж) построить графики функций и F(x).

3. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:

Найти:

а) значение параметра A;

б) плотность распределения вероятностей ;

в) математическое ожидание;

г) дисперсию;

д) среднее квадратическое отклонение;

е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке ;

ж) построить графики функций и F(x).

3. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:

Найти:

а) значение параметра A;

б) плотность распределения вероятностей ;

в) математическое ожидание;

г) дисперсию;

д) среднее квадратическое отклонение;

е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке ;

ж) построить графики функций и F(x).

3. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины X:

Найти:

а) значение параметра A;

б) функцию распределения F(x);

в) математическое ожидание;

г) дисперсию;

д) среднее квадратическое отклонение;

е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке ;

ж) построить графики функций и F(x).

3. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины X:

Найти:

а) значение параметра a;

б) функцию распределения F(x);

в) математическое ожидание;

г) дисперсию;

д) среднее квадратическое отклонение;

е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке ;

ж) построить графики функций и F(x).

3. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:

Найти:

а) значение параметра A;

б) плотность распределения вероятностей ;

в) математическое ожидание;

г) дисперсию;

д) среднее квадратическое отклонение;

е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке ;

ж) построить графики функций и F(x).

3. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:

Найти:

а) значение параметра A;

б) плотность распределения вероятностей ;

в) математическое ожидание;

г) дисперсию;

д) среднее квадратическое отклонение;

е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке ;

ж) построить графики функций и F(x).

3. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:

Найти:

а) значение параметра A;

б) плотность распределения вероятностей ;

в) математическое ожидание;

г) дисперсию;

д) среднее квадратическое отклонение;

е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке ;

ж) построить графики функций и F(x).

3. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:

Найти:

а) значение параметра A;

б) плотность распределения вероятностей ;

в) математическое ожидание;

г) дисперсию;

д) среднее квадратическое отклонение;

е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке ;

ж) построить графики функций и F(x).

3. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины X:

Найти:

а) значение параметра A;

б) функцию распределения F(x);

в) математическое ожидание;

г) дисперсию;

д) среднее квадратическое отклонение;

е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке ;

ж) построить графики функций и F(x).

3. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины X :

Найти:

а) значение параметра a;

б) функцию распределения F(x);

в) математическое ожидание;

г) дисперсию;

д) среднее квадратическое отклонение;

е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке ;

ж) построить графики функций и F(x).

3. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:

Найти:

а) значение параметра A;

б) плотность распределения вероятностей ;

в) математическое ожидание;

г) дисперсию;

д) среднее квадратическое отклонение;

е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке ;

ж) построить графики функций и F(x).

3. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:

Найти:

а) значение параметра A;

б) плотность распределения вероятностей ;

в) математическое ожидание;

г) дисперсию;

д) среднее квадратическое отклонение;

е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке ;

ж) построить графики функций и F(x).

3. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины X:

Найти:

а) значение параметра A;

б) функцию распределения F(x);

в) математическое ожидание;

г) дисперсию;

д) среднее квадратическое отклонение;

е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке ;

ж) построить графики функций и F(x).

3. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:

Найти:

а) значение параметра A;

б) плотность распределения вероятностей ;

в) математическое ожидание;

г) дисперсию;

д) среднее квадратическое отклонение;

е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке ;

ж) построить графики функций и F(x).

3. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины X:

Найти:

а) значение параметра A;

б) функцию распределения F(x);

в) математическое ожидание;

г) дисперсию;

д) среднее квадратическое отклонение;

е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке ;

ж) построить графики функций и F(x).

3. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:

Найти:

а) значение параметра A;

б) плотность распределения вероятностей ;

в) математическое ожидание;

г) дисперсию;

д) среднее квадратическое отклонение;

е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке ;

ж) построить графики функций и F(x).

3. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:

Найти:

а) значение параметра A;

б) плотность распределения вероятностей ;

в) математическое ожидание;

г) дисперсию;

д) среднее квадратическое отклонение;

е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке ;

ж) построить графики функций и F(x).

3. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины X:

Найти:

а) значение параметра A;

б) функцию распределения F(x);

в) математическое ожидание;

г) дисперсию;

д) среднее квадратическое отклонение;

е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке ;

ж) построить графики функций и F(x).

3. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:

Найти:

а) значение параметров ;

б) плотность распределения вероятностей ;

в) математическое ожидание;

г) дисперсию;

д) среднее квадратическое отклонение;

е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке ;

ж) построить графики функций и F(x).

3. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:

Найти:

а) значение параметра A;

б) плотность распределения вероятностей ;

в) математическое ожидание;

г) дисперсию;

д) среднее квадратическое отклонение;

е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке ;

ж) построить графики функций и F(x).

3. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:

Найти:

а) значение параметров A и B;

б) плотность распределения вероятностей ;

в) математическое ожидание;

г) дисперсию;

д) среднее квадратическое отклонение;

е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке ;

ж) построить графики функций и F(x).

3. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:

Найти:

а) значение параметров A и B;

б) плотность распределения вероятностей ;

в) математическое ожидание;

г) дисперсию;

д) среднее квадратическое отклонение;

е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке ;

ж) построить графики функций и F(x).