- •1. Кинематика поступательного движения материальной точки и твердого тела Элементы векторной алгебры
- •Краткая теория
- •Вопросы для самоподготовки
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2. Кинематика вращательного движения материальной точки и твердого тела Краткая теория
- •Вопросы для самоподготовки
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Использованная литература
Вопросы для самоподготовки
Дайте определение вектора, его длины.
Расскажите обо всех возможных действиях с векторами.
Назовите физические модели в механике, дайте им определения.
Назовите виды механического движения.
Сформулируйте определение радиус-вектора.
Дайте определение прямолинейного равномерного и прямолинейного равнопеременного движения.
Сформулируйте понятие средней путевой скорости.
Как найти скорость материальной точки при равнопеременном движении?
Назовите средние и мгновенные характеристики механического движения, дайте им определения.
Дайте определение пути, пройденного материальной точкой за некоторый промежуток времени.
Объясните, как найти ускорение при криволинейном движении?
Выведите кинематические уравнения равномерного и равнопеременного движения.
Примеры решения задач
1.1. Радиус-вектор точки А относительно начала координат меняется со временем t по закону где c и b – положительные постоянные, - орты осейOX и OY. Найти:
1) уравнение траектории точки у(х);
2) зависимость от времени векторов скорости , ускоренияи модулей этих величин;
3) зависимость от времени угла между векторамии;
4) средний вектор скорости за первые t секунд движения и модуль этого вектора.
Дано: Найти:
. 1. y(x);
2.
3.
4.
Решение:
1. В данной задаче рассматривается движение точки А, положение которой в пространстве задается радиус-вектором . В соответствии с формулой 1.9 можно получить:
(1)
Движение материальной точки происходит в плоскости XOY, так как координата z=0.
2. Зависимость от времени вектора мгновенной скорости можно найти по формуле (1.13):
, (2)
где (3)
- проекции вектора скорости на оси координат ОХ, ОY, OZ. С учетом выражения (3), по формуле (1.15) можно найти модуль вектора скорости:
. (4)
Вектор ускорения можно найти по формуле (1.16), используя выражение (2): где (5)
- проекции вектора ускорения на оси координат. Модуль вектора ускорения можно найти по формуле (1.17), используя выражение (5):
(6)
3. Зависимость от времени угла междуиможно найти из следующих рассуждений.
Вектор направлен вдоль оси ОY, сонаправлен с вектором , не меняет своей величины и направления, так как не зависит от времени (). Векторменяет свою величину и направление с ростом компоненты (). Поэтому зависимость углаот времени можно найти из соотношения в треугольнике ОАВ (рис.1.7):
(7)
4. Исходя из того, что вектор перемещения , по формуле (1.11) можно найти средний вектор скорости за первыесекунд движения:
, где (8)
- проекции среднего вектора скорости на оси ОХ и ОY. Для нахождения модуля среднего вектора скорости можно воспользоваться формулой (1.15) и выражением (10):
Ответ: 1. 2.
3. 4.
1.2. Два тела бросили одновременно из одной точки: одно – вертикально вверх, другое – под углом к горизонту. Начальная скорость каждого телаПренебрегая сопротивлением воздуха, найти расстояние между телами через
Дано: Найти:
Решение:
Введем декартову систему координат, начало отсчета (точку О) которой совместим с точкой, из которой были брошены оба тела. Первое тело движется равнозамедленно вдоль оси ОY и в момент времени находится в точке А (рис.1.8) с координатами:
Движение второго тела можно представить как наложение двух видов движений: а) равнопеременного с ускорением свободного падения вдоль осиOY, б) равномерного с постоянной скоростью вдоль осиOX.
Таким образом, в момент времени второе тело находится в точке В (рис.1.8) с координатами:
, тогда
;
, , то
.
Расстояние между точкой А() и точкой В() можно определить по формуле (1.2):
.
Ответ: l=22м.
1.3. Под каким углом к горизонту надо бросить шарик, чтобы:
1) центр кривизны вершины траектории находился на земной поверхности?
2) радиус кривизны начала его траектории был в n=8 раз больше, чем в вершине;
Дано: Найти:
1) R=h φ-?
2) R1=nR2, n=8
Решение:
1. Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно представить как наложение двух видов движений:
а) равномерного, с постоянной скоростью , вдоль осиOX;
б) равнопеременного, с ускорением свободного падения , вдоль осиOY. Тогда максимальная высота подъема по оси OY может быть найдена по формуле (1.26):
, (1)
где ,- проекция вектора скоростив вершине траектории на осьOY (рис.1.9), gy – проекция вектора на осьOY.
Из условия задачи известно, что центр кривизны вершины траектории находится на земной поверхности, следовательно, максимальная высота подъема h=hy равна радиусу кривизны R вершины траектории и может быть найдена по формуле (1.19):
, (2)
где ,an=gy (рис. 1.9).
Совместное решение уравнений (1) и (2) дает искомую величину:
или φ=54,70.
2. Угол φ можно найти из соотношения в прямоугольном треугольнике (рис. 1.10):
cosφ=. (3)
Нормальное ускорение в начальной точке траектории можно найти по формуле (1.19):
. (4)
С учетом следующих очевидных соотношений: ,R1=nR2, выражение (4) примет вид:
. (5)
Подставляя (5) в (3) получим искомую величину:
cos φ=1/или .
Ответ: 1. ; 2..
1.4. Два пловца должны попасть из точки А на одном берегу реки в прямо противоположную точку В на другом берегу. Для этого один из них решил переплыть реку по прямой АВ, другой же – все время держать курс перпендикулярно к течению, а расстояние, на которое его снесет, пройти пешком по берегу со скоростью u. При каком значении u оба пловца достигнут точки В за одинаковое время, если скорость течения и скорость каждого пловца относительно воды?
Дано: Найти:
Решение:
Скорость первого пловца относительно берега: . Скорость второго пловца относительно берега:(рис.1.11). Абсолютные величины скоростей первого пловца v1 и второго пловца v2 относительно берега можно найти из следующих соотношений:
=1,5 км/ч; =3,2 км/ч. (1)
Пусть t - время, за которое пловцы переместились из точки А в точку В; t1 - время, за которое второй пловец переплыл реку, t2 – прошел по берегу со скоростью u. Расстояние s, пройденное вторым пловцом по берегу за время t2 (расстояние, на которое течение снесло второго пловца за время t1):
тогда . (2)
Расстояние от точки А до точки В можно выразить из следующих соотношений (см. рис.1.11):
. (3)
Выразив из уравнения (3) время t1 и подставив его в (2), получим искомое выражение:
Ответ: