СОДЕРЖАНИЕ

1. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА Краткая теория…………………………………………………………..2 Вопросы для самоподготовки…………………………………………..7 Примеры решения задач………………………………………………...8 Задачи для самостоятельного решения……………………………….16 2. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА Краткая теория………………………………………………………….21 Вопросы для самоподготовки…………………………………………25 Примеры решения задач……………………………………………….26 Задачи для самостоятельного решения……………………………….32

1. Динамика поступательного движения материальной точки и твердого тела Краткая теория

В качестве меры механического действия одного тела на другое в механике вводится векторная величина, называемая силой. В рамках классической механики имеют дело с гравитационными силами, а также с упругими силами и силами трения.

Сила гравитационного притяжения, действующая между двумя материальными точками, в соответствии с законом всемирного тяготения, пропорциональна произведению масс точек и, обратно пропорциональна квадрату расстояниямежду ними и направлена по прямой, соединяющей эти точки:

, (1.1)

где - гравитационная постоянная.

Сила тяжести – это сила притяжения в гравитационном поле небесного тела:

,

(1.2)

где - масса тела;- ускорение свободного падения, - масса небесного тела, - расстояние от центра масс небесного тела до точки, в которой определяется ускорение свободного падения (рис. 1.1).

Вес -это сила, с которой тело действует на опору или подвес, неподвижные относительно данного тела. Например, если тело с опорой (подвесом) неподвижны относительно Земли, то вес равен силе тяжести, действующей на тело со стороны Земли. В противном случае вес, где- ускорение тела (с опорой) относительно Земли.

Упругие силы

Всякое реальное тело под действием приложенных к нему сил деформируется, то есть изменяет свои размеры и форму. Если после прекращения действия сил тело принимает первоначальные размеры и форму, деформация называется упругой. Действующей на тело (пружину) силе противодействует упругая сила. С учетом направления действия для упругой силы имеет место формула:

,

(1.3)

где k- коэффициент упругости (жесткость в случае пружины), - абсолютная деформация. Утверждение о пропорциональности между упругой силой и деформацией носит названиезакона Гука. Этот закон справедлив только для упругих деформаций.

В качестве величины, характеризующей деформацию стержня, естественно взять относительное изменение его длины:

, (1.4)

где l₀- длина стержня в недеформированном состоянии, Δl – абсолютное удлинение стержня. Опыт показывает, что для стержней из данного материала, относительное удлинение ε при упругой деформации пропорционально силе, приходящейся на единицу площади поперечного сечения стержня:

, (1.5)

где E - модуль Юнга (величина, характеризующая упругие свойства материала). Эта величина измеряется в паскалях (1Па=1Н/м²). Отношение F/S представляет собой нормальное напряжение σ, поскольку сила F направлена по нормали к поверхности.

Силы трения

При движении тела по поверхности другого тела или в среде (воде, масле, воздухе и т.д.) оно встречает сопротивление. Это сила сопротивления движению . Она является результирующей сил сопротивления формы тела и трения:. Сила трениявсегда направлена вдоль поверхности соприкосновения в сторону, противоположную движению. Если имеется жидкая смазка, это будет ужевязкое трение между слоями жидкости. Аналогично обстоит дело и при движении тела, полностью погруженного в среду. Во всех этих случаях сила трения зависит от скорости сложным образом. Для сухого трения эта сила сравнительно мало зависит от скорости (при малых скоростях). Но трение покоя нельзя определить однозначно. Если тело покоится и нет силы, стремящейся сдвинуть тело, равна нулю. Если такая сила есть, тело не сдвинется до тех пор, пока эта сила не станет равной некоторому значению, называемому максимальным трением покоя. Сила трения покоя может иметь значения от 0 до, что отражено на графике (рис. 1.2, кривая 1) вертикальным отрезком. В соответствии с рис. 1.2 (кривая 1), сила трения скольжения с увеличением скорости вначале несколько убывает, а затем начинает возрастать. Законысухого трения сводятся к следующему: максимальная сила трения покоя, а также сила трения скольжения не зависят от площади соприкосновения трущихся тел и оказываются приблизительно пропорциональными величине силы нормального давления , прижимающей трущиеся поверхности друг к другу:

,

(1.6)

где - безразмерный коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом трения (соответственно покоя или скольжения). Он зависит от природы и состояния трущихся поверхностей, в частности от их шероховатости. В случае скольжения коэффициент трения является функцией скорости.

Трение качения подчиняется формально тем же законам, что и трение скольжения, но коэффициент трения в этом случае оказывается значительно меньшим.

Сила вязкого трения обращается в нуль вместе со скоростью. При малых скоростях она пропорциональна скорости:

, (1.7)

где - положительный коэффициент, характерный для данного тела и данной среды. Величина коэффициента зависит от формы и размеров тела, состояния его поверхности и от свойства среды, называемого вязкостью. Этот коэффициент зависит и от скорости , однако при малых скоростях во многих случаях его можно практически считать постоянным. При больших скоростях линейный закон переходит в квадратичный, то есть сила начинает расти пропорционально квадрату скорости (рис. 1.2, кривая 2).

Первый закон Ньютона: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние.

Первый закон Ньютона утверждает, что состояние покоя или равномерного прямолинейного движения не требует для своего поддержания каких-либо внешних воздействий. В этом проявляется особое динамическое свойство тел, называемое инерцией. Соответственно первый закон Ньютона также называют законом инерции, а движение тела, свободного от внешних воздействий, - движением по инерции.

Опыт показывает, что всякое тело «оказывает сопротивление» при любых попытках изменить его скорость – как по модулю, так и по направлению. Это свойство, выражающее степень неподатливости тела к изменению его скорости, называется инертностью. У различных тел оно проявляется в разной степени. Мерой инертности служит величина, называемая массой. Тело с большей массой является более инертным, и наоборот. В рамках ньютоновской механики масса обладает следующими двумя важнейшими свойствами:

1) масса – величина аддитивная, то есть масса составного тела равна сумме масс его частей ;

2) масса тела как такового – величина постоянная, не изменяющаяся при его движении.

Второй закон Ньютона: под действием результирующей силы тело приобретает ускорение

,

(1.8)

где - масса тела,- ускорение;- результирующая сила (геометрическая сумма сил, действующих на тело).

Третий закон Ньютона: каждой силе соответствует сила противодействия, равная по величине, но противоположно направленная:

.

(1.9)

Силы иприложены к разным телам. Эти силы одной природы.

Импульс – векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость:

,

(1.10)

где - импульс тела,- масса тела,- скорость тела.

Основное уравнение динамики поступательного движения для точки, входящей в систему точек:

, (1.11)

где - скорость изменения импульсаi –ой точки системы; - сумма внутренних сил, действующих наi –ю точку со стороны всех точек системы; - результирующая внешняя сила, действующая наi –ю точку системы; N- число точек в системе.

Основное уравнение динамики поступательного движения для системы точек:

, (1.12)

где - скорость изменения импульса системы;- результирующая внешняя сила, действующая на систему.

Основное уравнение динамики поступательного движения твердого тела:

,

(1.13)

где - результирующая сила, действующая на тело;- скорость центра масс тела,скорость изменения импульса центра масс тела.