METOD
.pdf
IV тип. Арифметические операции в различных системах счисления
Задача. Выполнить действие в 4-ой системе счисления: 130234 + 33234. Решение.
Воспользуемся правилом сложения чисел в q-ичной системе счисления. То есть запишем второе слагаемое под первым, так чтобы разряды чисел
находились друг под другом:
130234
133234
Сложим цифры первого разряда справа по правилам 10-ой системы: 3+3 = 6, т. е. имеем случай, когда сумма больше основания системы счисления (4). Представим 6 в 4-ой с. с.: 610 = 1 • 4 + 2 = 124. Таким образом, в первый разряд ответа запишем 2, а 1 перенесем в следующий разряд (2 пишем, 1 в уме).
1
130234
133234
24
Сложим цифры второго разряда справа по правилам 10-ой системы:
2 + 2 + 1 = 5. Сумма больше основания системы счисления (4). Представим 5 в 4-ой с. с.: 510 = 1 • 4 + 1 = 114. Таким образом, во второй разряд ответа запишем 1, а 1 перенесем в следующий разряд (1 пишем, 1 в уме).
1
130234
133234
124
Сложим цифры третьего разряда справа по правилам 10-ой системы:
0 + 3 + 1 = 4. Сумма равна основанию системы счисления (4). Представим 4 в 4- ой с. с.: 410 = 1 • 4 + 0 = 104. Таким образом, в третий разряд ответа запишем 0, а 1 перенесем в следующий разряд (0 пишем, 1 в уме).
1
130234
133234
0124
Сложим цифры четвертого разряда справа по правилам 10-ой системы: 1 + 3 + 3 = 7. Сумма больше основания системы счисления (4). Представим 7 в 4-ой с. с.: 710 = 1 • 4 + 3 = 134. Таким образом, в четвертый разряд ответа запишем 3, а 1 перенесем в следующий разряд (3 пишем, 1 в уме).
1
130234
133234
30124
Сложим цифры пятого разряда справа по правилам 10-ой системы:
1 + 1 + 1 = 3. Сумма меньше основания системы счисления (4). Таким образом, в пятый разряд ответа запишем 3, а в следующий разряд переносить ничего не нужно.
130234
133234
330124
Ответ: 330124
Задача. Выполнить действие в 6-ой системе счисления:
5300026 – 424556
Решение.
Запишем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом:
5300026
424556
Цифра вычитаемого в первом разряде меньше соответствующей цифры уменьшаемого, цифры следующих четырех разрядов равны нулю, поэтому цифру 3 из пятого (справа) разряда уменьшаемого уменьшим на единицу («займем единицу»), а нули увеличим до q-1, т. е. до 5 (6-1). В первом разряде уменьшаемого к 2 добавим q = 6 и из полученных восьми отнимем 5 получим 3
– первую (с конца) цифру результата. по правилам 10-ой с.с.:
• • • •
5300026
424556
36
Точки будут напоминать о том, что из 3 произвели заем одной единицы, а нули заменили 5. Цифра, стоящая во втором разряде уменьшаемого стала 5, 5 – 5 = 0. Цифра, стоящая в третьем разряде уменьшаемого стала 5, 5 – 4 = 1. Цифра, стоящая в четвертом разряде уменьшаемого стала 5, 5 – 2 = 3.
• • • •
5300026
424556
31036
В пятом разряде уменьшаемого вместо цифры 3 уже 2, в пятом разряде вычитаемого 4. 2 < 4, следовательно, из шестого разряда уменьшаемого займем единицу (5-1 = 4), а в пятом разряде уменьшаемого к 2 добавляем q = 6, получим 8, и теперь из 8 вычтем 4, получим 4.
•
5300026
424556
431036
Точка над 5 означает, что из нее заняли единицу, теперь в шестом разряде уменьшаемого стоит 4. В шестом разряде вычитаемого ничего нет, что подразумевает 0. Итак, 4 – 0 = 4.
•
5300026
424556
4431036
Ответ: 4431036.
Задача. Пользуясь сложением составить двоично-шестнадцатеричную таблицу.
Решение.
016 = 02; 116 = 12, 2 в шестнадцатиричной получается увеличением единицы на 1. 216 = 116 + 116 = 12 + 12 = 210 = 1 • 2 + 0 = 102. 316 = 216 + 116 = 102 + 12 = 112. Далее аналогично. Процесс сложения в двоичной системе счисления представлен в таблице 13.
Таблица 13. Процесс получения двоично-шестнадцатиричной таблицы
16-ая |
|
|
|
Действие |
Результат |
16-ая |
|
|
Действие в |
||||||||
|
|
|
|
|
в 2-ой |
в 2-ой |
|
|
|
|
|
|
2-ой |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
016 |
|
|
|
|
|
|
02 |
|
02 |
816 |
|
|
1112 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10002 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10002 |
|
116 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
12 |
916 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10012 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
12 |
|
|
|
1 |
|
||||||||||
216 |
|
|
|
|
|
|
|
102 |
A16 |
|
|
10012 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
12 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
102 |
|
|
|
|
10102 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
102 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10102 |
|
||||||
316 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
112 |
B16 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
112 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
10112 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
112 |
|
|
|
1 1 |
|
||||||||||
416 |
|
|
|
|
|
|
1002 |
C16 |
|
|
10112 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
12 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1002 |
|
|
|
|
11002 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1002 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11002 |
|
||||||
516 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
1012 |
D16 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1012 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
11012 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||
616 |
|
|
|
1012 |
|
1102 |
E16 |
|
|
|
|
11012 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
12 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1102 |
|
|
|
|
11102 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
716 |
|
|
1102 |
|
1112 |
F16 |
|
|
|
11102 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
12 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1112 |
|
|
|
|
11112 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Результат в 2-ой
10002
10012
10102
10112
11002
11012
11102
11112
Как видим результаты, полученные увеличением каждого последующего двоичного числа на 1, совпадают с результатами, полученными при непосредственном переводе (таблица 12).
V тип. Дополнительные задачи по системам счисления
Задача. Составить таблицу умножения для пятеричной системы, используя ее найти 43025 • 3245.
Решение.
а) Составим таблицу умножения для пятеричной системы счисления: 0 • 0 = 0 • 1 = 0 • 2 = 0 • 3 = 0 • 4 = 0.
1 • а = а, поэтому 1 • 1 = 1, 1 • 2 = 2; 1 • 3 = 3; 1 • 4 = 4. 25 • 25 = 210 • 210 = 410 = 45.
25 • 35 = 210 • 310 = 610 = 1 • 5 + 1 = 115. 25 • 45 = 210 • 410 = 810 = 1 • 5 + 3 = 135. 35 • 35 = 310 • 310 = 910 = 1 • 5 + 4 = 145. 35 • 45 = 310 • 410 = 1210 = 2 • 5 + 2 = 225. 45 • 45 = 410 • 410 = 1610 = 3 • 5 + 1 = 315.
Итак, получили таблицы 14.
Таблица 14. Таблица умножения для пятеричной системы счисления
• |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
2 |
4 |
11 |
13 |
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
3 |
11 |
14 |
22 |
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
4 |
13 |
22 |
31 |
|
|
|
|
|
|
б) Найдем произведение 43025 • 3245, используя правила умножения аналогичные правилам, принятым в десятичной с. с., и таблицу 14.
Запишем второй множитель под первым так, чтобы разряды совпадали:
43025
3245
Используя, таблицу 14, умножим 43025 на 45.
43025
3245
332135
Рассуждали так: четыре на два 13 (по таблице); 3 пишем, 1 – в уме. Четыре на нуль дает 0, да плюс один, – пишем 1. Четыре на три 22 (по таблице); 2 пишем, 2 – в уме. Четыре на четыре 31 (по таблице), да плюс два, – пишем 3, 3 – в уме. Тройку сносим в пятый разряд.
Рассуждая аналогично, умножим 43025 на 25, полученное произведение запишем под первым результатом, смещая на разряд влево:
43025
3245
332135
141045
Умножим 43025 на 35, полученное произведение запишем под вторым результатом, смещая на разряд влево:
43025
3245
332135
141045
234115
Сложим полученные произведения, используя правило сложения в q-ной системе счисления для 5-ой с. с.:
43025
3245
332135
141045
234115
31204035
Итак, 43025 • 3245 = 31204035. Ответ: 31204035.
Задача. Записать наибольшее и наименьшее n-разрядные числа, представимые в системе счисления с основанием q и перевести эти числа в десятичную систему: n = 5, q = 4.
Решение.
Наибольшее пятиразрядное число, состоящее из 3 как максимальной цифры четверичной системы счисления 333334 = 3 • 44 + 3 • 43 + 3 • 42 + 3 • 41 + 3 • 40 = 97510.
Наименьшее пятиразрядное число 100004 = 1 • 44 + 0 • 43 + 0 • 42 + 0 • 41 + 0 • 40
= 25610.
Ответ: 97510 и 25610.
Задача. Какое максимальное десятичное положительное и минимальное отрицательное числа можно представить в двух байтах информации?
Решение.
Два байта – это 16 бит (т. е. 2 по 8 бит), то есть это 16-тиразрядное число
вдвоичной системе счисления. Положительное число начинается (слева) нулем, так как мы ищем максимальное число, то остальные цифры будут единицы. Итак, двоичное представление максимального положительного числа
вдвух байта информации: 0111 1111 1111 11112. Это число проще перевести в 16-ную систему по таблице 12, а затем из 16-ой с. с. в десятичную:
0111 1111 1111 11112 = 7FFF16 = 7 • 163 + 15 • 162 + 15 • 161 + 15 • 160 = = 7 • 4096 + 15 • 256 + 15 • 16 + 15 = 28672 + 3840 + 240 + 15 = 3276710.
Отрицательное число начинается (слева) единицей, так как мы ищем минимальное число, то остальные цифры будут нули. Итак, двоичное представление минимального отрицательного числа в двух байта информации: 1000 0000 0000 00002. Это число проще перевести в 16-ную систему по таблице 12, а затем из 16-ой с. с. в десятичную:
1000 0000 0000 00002 = 800016 = 8 • 163 + 0 • 162 + 0 • 161 + 0 • 160 = = 8 • 4096 + 0 + 0 + 0 = – 2867210.
Ответ: 3276710 и – 2867210.
Задача. Получить двоичную, шестнадцатеричную форму внутреннего представления чисел в двухбайтовой ячейке: 160810 и –160810.
Решение.
Воспользуемся правилами получения внутреннего представления в ЭВМ целого положительного и целого отрицательного числа N, хранящегося в k- разрядном машинном слове. В нашем случае машинным словом является двухбайтное число, то есть 16-тиразрядное.
Переведем N = 160810 в двоичную систему счисления, получим 110010010002. Внутренне представление этого положительного числа в двухбайтовой ячейке памяти будет следующим: 0000 0110 0100 1000.
Для нахождения шестнадцатеричной формы представления числа воспользуемся таблицей 12 и получим 0648.
Для нахождения двоичной формы представления отрицательного числа – 160810 найдем обратный код положительного числа 160810, для этого:
заменим 1 на 0 в его двоичном представлении (0000 0110 0100 1000): 1111 1001 1011 0111.
Прибавим к обратному коду 1:
1 1 1
1111 1001 1011 01112
12
1111 1001 1011 10002
1111 1001 1011 1000 – это внутреннее двоичное представление отрицательного числа –160810. Его шестнадцатеричная форма: F9B8.
Ответ: 0000 0110 0100 1000 и 0648; 1111 1001 1011 1000 и F9B8.
Задачи для самостоятельного решения
I тип.
Задача 50*. Число, записанное в развернутой форме представить в сокращенной форме:
ж) 1•24+0•23+0•22+1•21+1•20; з) F•163+D•162+8•161+0•160;
и) 7•85+7•84+5•83+0•82+2•81+0•80; к) 4•108+9•107+7•106+0•105+2•104+1•103+0•102+3•101+4•100; л) 2•72+6•71+6•70; м) 5•94+4•93+3•92+0•91+7•90.
Задача 51*. Число, записанное в сокращенной форме представить в развернутом виде:
ж) 21013; з) BF2D16 ; и) 5446; к) 9787510; л) A3B12;
м) 10100112.
Задача 52**. Перевести число, записанное в сокращенной форме в десятичную систему счисления:
ж) 11000102; з) CD516; и) 33124; к) 47748; л) 32215; м) 1094710.
Задача 53***. Найти ошибку в сокращенной или развернутой записи числа:
л) 1040065; м) 76557; н) 10112012;