Барометрическая формула. Распределение Больцмана

Сравним атмосферное давление на двух близких горизонтальных уровнях. В соответствии с известными законами гидростатики давление на более низком уровне превосходит давление на более высоком уровне на величину . В силу этого получим

В соответствии с уравнением Менделеева-Клапейрона плотность воздуха будет равна

. Учитывая это, далее получим

Выполняя интегрирование приведенного соотношения, получим

После потенцирования получим известную барометрическую формулу Больцмана

(1)

Приведенная формула передает характер изменения давления с высотой в изотермической атмосфере. Из нее следует, что с увеличением высоты атмосферное давление уменьшается по экспоненциальному закону. Быстрота уменьшения давления существенно зависит от массы молекул газа. Быстрее убывает парциальное давление газов, молекулы которых имеют большую массу. Из барометрической формулы легко получить соотношения, связывающие плотности и концентрации молекул воздуха на разных высотах

Больцман обратил внимание на то, что в барометрической формуле величина представляет собой потенциальную энергию молекул газа, находящихся в гравитационном поле, и пришел к выводу о том, что открытое им распределение представляет собой универсальный закон распределения молекул по их потенциальным энергиям. Принимая во внимание распределение Максвелла по скоростям (кинетическим энергиям молекул) и распределение Больцмана по потенциальным энергиям, Гиббс пришел к выводу о том, что для частиц, движение и взаимодействие которых описываются законами Ньютона, справедлив универсальный закон распределения по их энергиям. Согласно этому закону число частиц, обладающих данной энергией, пропорционально экспоненциальному множителю

Другими словами, для частиц с энергиями выполняется соотношение

Барометрическая формула Больцмана была использована Перреном в (1908 – 1913) для экспериментального определения числа Авогадро. Опыт Перрена сводился к изучению распределения малых частиц, взвешенных в жидкости. Перрен с помощью микроскопа подсчитывал число взвешенных в жидкости частиц (краски гуммигута) на различных высотах и, полагая, что они распределены по закону Больцмана

рассчитал постоянную Больцмана по формуле

В приведенной формуле - эффективная масса частицы, - расстояние между уровнями, для которых подсчитывалось количество частиц, наблюдаемых в поле зрения микроскопа, - абсолютная температура, - число частиц на выделенных горизонтальных уровнях.