Для студентов 1 / описание лабораторных работ / Лабораторная работа № 17

Лабораторная работа № 17

«Изучение нормальных мод натянутой струны»

Цель работы: освоение экспериментальной методики определения собственных частот струн.

Введение.

Всякой упругой системе присуща собственная частота колебаний, т.е. частота с которой протекают колебания за счет первоначально запасенной энергии без внешних воздействий на систему и без потерь энергии внутри системы. Если линейная упругая система ограничена с двух сторон «зеркалами», то в ней возникают собственные колебания с множеством собственных (резонансных) частот кратных основной частоте.

Нормальными модами называют собственные колебания линейных колебательных систем. Каждая нормальная мода характеризуется определенным значением частоты и распределением амплитуд и фаз по элементам системы

Линейной упругой системой, ограниченной с обоих концов точками закрепления, может служить натянутая струна. При возбуждении поперечных колебаний в струне возникают стоячие волны. Они являются результатом наложения бегущей волны т.е. падающей на точку закрепления и волны отраженной от точки закрепления.

Уравнения падающей и отраженной волны имеет вид (при равенстве начальных фаз)

(1)

(2)

складывая эти выражения и применяя формулу для суммы косинусов получим уравнение стоячей волны:

(3)

где

- смещение колеблющейся точки

- амплитуда колебаний

- волновое число

- длина волны

- частота

- координата

из уравнения (3) следует, что в каждой точке стоячей волны совершаются гармонические колебания той же частотой , что и у встречных волн, причем амплитуда стоячей волны зависит от координаты

(4)

Пучностями волны называют точки, в которых амплитуда максимальна (), т.е. координата пучности удовлетворяет условию:

(5)

Узлами стоячей волны называют точки, в которых амплитуда обращается в нуль (). Тогда координаты узлов определяются:

(6)

из выражений (5)-(6) следует, что расстояние между соседними пучностями, также как и расстояния между соседними узлами равно .

Когда струну приводят в колебательное движение, в ней возникают волны с различными частотами. Они движутся по струне в обоих направлениях, отражаются на концах и меняют направление движения. Большинство возбужденных волн накладываясь интерферирует друг с другом случайным образом и быстро затухают. Длительное время сохраняются лишь те стоячие волны, которые соответствуют резонансным, т.е. собственным частотам струны. Кроме того устойчивость стоячей волны связана с условиями на границе, т.е в точках закрепления. На границах должны выполняться условия для узлов или пучностей, т.е. условие

если левая граница находиться в начале координат (x=0), а правая – в точке x=l, то

(7)

отсюда следует, что собственные частоты, на которых стоячие волны устойчивы, соответствуют волнам с длинами

(8)

где

- длина струны

- длина стоячих волн, соответствующие собственным частотам

(9)

где

- фазовая скорость упругой волны.

Собственные частоты струны кратны основной частоте:

нормальными модами в данном случае являются гармонические колебания с частотами, определенными выражением (9).

Низшей частоте (n=1) соответствует основная мода или первая гармоника. В этом случае на длине струны наблюдается единственная пучность. Длинна струны при этом равна половине длинны волны. Следующая нормальная мода соответствует двум пучностям и называется второй гармоникой. В этом случай . Для третьей гармоники имеем и т.д. в соответствии с выражением (7).

Сложные по форме колебания, наблюдаемые в технике, можно представить в виде суммы (суперпозиции) простых гармонических колебаний. При этом сложное колебание раскладывается на более простые колебания (гармоники) с частотами кратными основной частоте, а процедуру разложения называют гармоническим анализом или Фурье-анализом. Этот анализ широко используется в технике и физике при исследовании сложных колебательных систем.

Наблюдать нормальные моды струны можно путем изменения внешней частоты до последовательного ее совпадения с собственными частотами. При этом в каждом случае колебания будут резонансными и стоячие волны устойчивыми. Если же внешняя частота неизменна(50Гц), то резонансные колебания могут быть получены путем изменения упругих характеристик системы, например, изменением силы натяжения струны. В этом случае будут изменятся собственные частоты струны и будут принимать значения кратные основной частоте. При последовательном достижении такого равенства стоячие волны будут устойчивыми.

Распространение незатухающего волнового процесса в упругой среде описывается волновым уравнением, которое для одномерного случая имеет вид:

(11)

где

- скорость распространения упругой волны.

В частности уравнение стоячей волны (3) является решением волнового уравнения (11) при соответствующих граничных условиях.

Можно показать, что скорость распространения упругого импульса в натянутой струне определяется выражением

, (12)

где

- сила натяжения струны

- линейная плотность материала струны, т.е. масса одного метра проволоки.

Подставляя выражения для скорости (12) в формулу (9) получим выражение для определения нормальных мод

(13)

задания.

1. Включить вибратор, создающий колебания, в сеть 50 Гц. При этом по струне побегут поперечные волны, которые отражаясь от концов, образуют случайную картину колебаний.

2. На держатель грузов, прикрепленной к концу струны, установить максимальное количество перегрузков до получения устойчивой стоячей волны с единственной пучностью. При этом должно выполняться условие (7) для n=1.

3. Измерив длину струны l , вычислив значение , определить по формуле (13) собственную частоту , соответствующую основной нормальной моде.

4. Постепенно уменьшая силу натяжения струны путем уменьшения массы груза, получить устойчивую стоячую волну с двумя пучностями и определить собственную частоту, соответствующую второй нормальной моде.

5. Далее уменьшая силу натяжения струны снятием перегрузков, получить максимальное значение нормальных мод и определить соответствующие им собственные частоты. Убедиться в их кратности основной частоте.

6. По результатам, полученным в предшествующих измерениях, определить скорость распространения упругого импульса по натянутой струне, пользуясь выражениями (9) и (12).

Контрольные вопросы.

1. Каковы основные различия между бегущей и стоячей волной. Получить уравнения этих волн.

2. Что понимают под собственной частотой колебаний?

3. Что называют нормальными модами?

4. В каком случае волна будет устойчивой?

5. Какой вид имеет выражение для собственных частот? Сделать вывод данного выражения.

6. От чего зависит скорость распространения волны деформации вдоль струны?