Для студентов 1 / описание лабораторных работ / Лабораторная работа № 16

Лабораторная работа № 16

Изучение колебаний пружинного маятника.

Цель работы: ознакомление со свободными затухающими колебаниями груза, подвешенного на пружине. Определение основных параметров, характеризующих колебания пружинного маятника.

Краткое теоретическое введение.

Колебания – процесс, отличающийся той или иной степенью повторяемости во времени.

Свободные (собственные) колебания – такие колебания, которые происходят в системе представленной самой себе, после того, как она была выведена из положения равновесия.

Период колебаний T– наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения этих величин, характеризующих колебательное движение. За время T совершается одно полное колебание. Частотой колебаний называется число полных колебаний за единицу времени. Очевидно

= (1)

Простейшими являются гармонические колебания, т.е. такие, при которых колеблющаяся величина изменяется оп закону синуса или косинуса

(2)

Где – колеблющаяся величина (смещение, скорость, сила, ускорение)

- время,

- некоторые постоянные величины.

- Амплитуда (наибольшее значение колеблющейся функции),

- Круговая или циклическая частота, т.е. число полных колебаний, которые совершаются за единицу времени.

(3)

Аргумент синуса или косинуса называется фазой.

Фаза определяет значение колеблющихся величин в данный момент времени момент начала отсчета фаза равна начальной фазе .

Пружинный маятник представляет собой груз, подвешенный на пружине. В состоянии равновесия сила тяжести , действующая на груз, уравновешивается силой упругости растянутой пружины

(4)

По закону Гука о пропорциональности нагрузки и деформации, сила упругости пропорциональна удлинению.

(5)

Где - коэффициент жесткости или «жесткость» пружины. Знак «Минус» показывает, что сила упругости и удлинение противонаправлены. Систему отсчета выберем как показано на рис.1

Переходя к проекциям сил и смешений на ось -ов запишем

(6)

При отклонении груза от положения равновесия вниз на величину на него будет действовать сила упругости и сила тяжести.

Уравнение второго закона Ньютона для груза будет иметь вид:

(7)

Где – масса груза, а (8)

Переходя к проекциям сил и смешений на ось получим уравнение движения вида:

(9)

Решение уравнения имеет вид:

(10)

Следовательно, груз совершает циклические колебания с частотой

(11)

И периодом

(12)

Выражения (10), (11),(12) выведены без учета массы пружины . с учетом последней они имеют вид:

(13)

; (14,15)

Смещая груз, подвешенный на пружине на величину, мы совершаем работу против сил упругости пружины:

(16)

Эта энергия идет на создание запаса потенциальной энергии системы

(17)

Когда предоставленная самой себе система начнет возвращаться к положению равновесия, то потенциальная энергия будет убывать, переходя в кинетическую, которая будет максимальна в момент прохождения системой положения равновесия. В этом случае, а

(18)

С учетом массы пружины:

(19)

Пройдя положение равновесия, система по инерции будет двигаться дальше и кинетическая энергия начнет превращаться в потенциальную.

В положении, когда , а

Уравнение движения груза (9) и его решение (13) описывают незатухающие свободные колебания пружинного маятника, т.е. такие колебания, которые могут проходить сколь угодно долго без изменения амплитуды. График незатухающих колебаний показан на рис.2

Если на колеблющееся тело действует сила сопротивления, то энергия системы, а вместе с нею и скорость и наибольшее смешение и скорость не остаются постоянными, а убывают, энергия расходуется на преобразование сил сопротивления и превращаются в тепло.

Силы сопротивления довольно сложно зависят от скорости, но при колебаниях, когда скорость достаточно мала, можно считать с достаточной степенью точности, что силы трения пропорциональны скорости движения. В этом случае уравнение движения при колебаниях груза, подвешенного на невесомой пружине будет:

(20)

Где – сила сопротивления

- коэффициент силы сопротивления.

Решение этого уравнения имеет вид:

(21)

где ;

Выражение играет роль амплитуды и показывает как изменяется во времени наибольшее смешение груза, от положения равновесия, – коэффициент затухания, характеризующий быстроту затухания колебаний.

Величину называют условным периодом затухающего колебания.

График затухающего колебания представлен на рис. 3

(24)

Т.е. наличие сил сопротивления замедляет колебания. Последовательное максимальное отклонение груза от положения равновесия , происходящие в одну сторону, будут наступать через одинаковые промежутки времени, равные условному периоду

При

При

При

Отношение предыдущего размаха к соседнему последующему определяет так называемый декремент затухания:

(25)

Натуральный логарифм этого отношения называется логарифмическим декрементом затухания:

(26)

Показатель затухания характеризует затухания колебаний за единицу времени, а логарифмический декремент – затухание колебаний за период.

Если затухающие колебания характеризовать временем релаксации , т.е. временем в течение которого отклонение от положения равновесия уменьшается в раз, то за время система успеет совершить число колебаний.

Из условия получим

(27)

Т.е. логарифмический декремент затухания обратно по величине числу колебаний, за которое колебания уменьшаются в раз

Выражение (22) коэффициента затухания получено для случая, когда масса пружины исчезающе мала. Если масса пружины значительна, то коэффициент затухания и условная циклическая частота определяется по следующим формулам:

(28)

(29)

Приборы и принадлежности: Пружинный маятник со шкалами, набор грузов, секундомер, весы.

Схема установки.

Установка для изучения колебаний пружинного маятника представляет собой пружину, снабженную площадкой для установки грузов и поводком.

Последний с незначительным трением перемешается относительно шкалы. Для удобства измерений пружину и шкалу вначале опыта закрепляют так, чтобы указатель поводка находился на нулевой отметке шкалы. Запуск колебаний осуществляется смешением поводка вдоль шкалы вниз.

Задания.

1. Измеряя смешение при известной нагрузке определить жесткость каждой из пружин . Нагрузка определяется взвешиванием прилагаемых грузов. Для каждой из пружин определяют при 5 нагрузках, затем определяют .

2. Измеряя секундомером время полных колебаний, определить период колебаний пружинного маятника . Где – время наблюдения. Вычислить период колебаний пружинного маятника по формуле:

где – масса груза; - масса пружины, - коэффициент жесткости. Задание выполняют при 3-х нагрузках для 2-ч пружин.

3. Определить коэффициент затухания . Для этого измерить по секундомеру время , за которое амплитуда колебаний уменьшается в 2 раза . опыт повторить 3 раза для одной пружины, используя грузы различной массы. Проанализировать зависимость .

4. Экспериментальные и расчетные данные внести в таблицы составленные самостоятельно.

5. Построить графики зависимостей:

; ;

6. Сделать выводы по каждому из заданий.

Опыт 1:

№ п/п	m	P	x	k	<k>
1
2
3
4

Опыт 2:

№ п/п	m	n	t	<t>	T
1
2
3
4

Опыт 3:

№ п/п	m	t	<t>	B
1
2
3
4

Вывод: