Лабораторная работа № 11

Определение моментов инерции физических маятников различной формы

Цель работы: определить моменты инерции диска, обруча и цилиндрического стержня.

Введение

Моментом инерции называют физическую величину, определяющую инертность тела при вращательном движении.

Момент инерции материальной точки массой m, удаленной от оси на расстояние r, определяется выражением

для протяженных тел момент инерции относительно оси определяется как сумма моментов инерции отдельных точек (материальных масс m), на которые можно разбить тело

Момент инерции может быть вычислен путем интегрирования

где  - плотность тела;

v – объем тела.

Как видно из определения, момент инерции тела есть величина аддитивная: момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей. Одно и тоже тело относительно разных осей обладает различными моментами инерции.

Согласно теореме Штейнера, момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I₀ относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями.

Существуют различные методы определения момента инерции тел. В настоящей работе используется метод физического маятника.

Физическим маятником называют твердое тело, способное совершать колебания около неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр его тяжести.

Если маятник отвести в сторону от положения равновесия и отпустить, то он начнет совершать колебания около положения равновесия. При этом между периодом колебаний и моментом инерции маятника может быть установлена экспериментальная связь, используя которую можно рассчитать момент инерции маятника по измеренным значениям периода колебаний.

Для получения расчетной формулы рассмотрим колебания физического маятника, схема которого приведена на рисунке.

При отклонении маятника на угол  (в направлении стрелки) вращательный момент, создаваемый силой тяжести, действует в направлении, противоположном отклонению, возвращая маятник к положению равновесия. Поэтому моменту силы и отклонению приписывают противоположный знак, как например, упругой силе и смещению ()

(1)

где d – расстояние от точки подвеса до центра тяжести тела

- плечо силы (перпендикуляр, проведенный из центра вращения на линию действия силы).

Физический маятник совершает колебательное движение, которое является периодическим вращательным движением около положения равновесия. Поэтому его движение описывается основным уравнением динамики вращательного движения

где М – момент силы тяжести определяется выражением (1),

I – момент инерции физического маятника относительно горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса,

 - угловое ускорение определяется как вторая производная по времени от угла поворота

()

Приравнивая правые части уравнений (1) и (2) получим

Если угол отклонения не превышает 3-5⁰, то можно воспользоваться приближенным равенством sin

(3)

Решение уравнения (3) ищем в виде

(4)

Дифференцируя уравнение (4) дважды по времени, заменяем и  в уравнении (3) и после преобразований получим

(5)

Используя известное соотношение , приводим уравнение (5) к виду

(6)

Порядок выполнения работы

Для экспериментального определения моментов инерции физических маятников необходимо выполнить следующие измерения.

1. Взвесить физический маятник, т.е. определить его массу.

2. Измерить штангенциркулем или линейкой расстояние d от оси вращения до центра тяжести физического маятника, т.е. расстояние от ребра призмы до центра тяжести.

3. Определить период колебаний физического маятника.

Для этого отклонить маятник на угол не более 5⁰ и измерить время t, за которое совершается 20 полных колебаний. Период определить по формуле , где N=20.

Для данного физического маятника период определить три раза и найти среднее значение периода <T>.

Задания

1. Определить момент инерции однородного диска по формуле (6) и проверить найденное экспериментальное значение момента инерции по теореме Штейнера (приведена во введении). При этом

, где

R – радиус диска.

2. Определить момент инерции обруча по формуле (6) и проверить экспериментальное значение момента инерции по теореме Штейнера принять

, где

R₁ – радиус обруча (внутренний)

R₂ – радиус обруча (внешний)

3. Определить момент инерции тонкого цилиндра относительно оси, проходящей через торец цилиндра по формуле (6) и проверить найденное экспериментальное значение момента инерции по теореме Штейнера. Принять

, где - длина цилиндра

4. Сравнить полученные значения моментов инерции физических маятников (диска, обруча, тонкого цилиндра), имеющих одинаковые массы и линейные размеры, но различное распределение массы относительно оси.

Сделать выводы.