§ 9.3. Стоимость денег во времени

Будущая стоимость

А. Будущая стоимость единичного поступления определя­ется по Лоомуле:

О)

где FVpj — будущая стоимость во время N; PVq — первоначаль­ная сумма поступлений в нулевой период времени; г — ежегод­ная процентная ставка; N — число периодов времени. Это же уравнение может быть записано так:

(2)

где FVIF (r, N) — будущее значение фактора для г процентов в течение N лет.

Трансляционный риск

Трансляционный валютный риск возникает при консолидации счетов иностранных дочерних компаний с финансовыми отчетами многонациональных корпораций. Это риск снижения стоимости активов и потери прибыли.

Значения FVIF (r, N) приводятся в таблицах шести функций денег (колонка будущей стоимости единицы).

Задача 7.

Найдите будущую стоимость в конце пятого периода 1000 дол­ларов, вложенных сегодня на 8%-ный депозит.

180

181

Таблица шести функций денег. Ставка дисконта 8% (начисление процентов ежегодно)

	Будущая	Накопление	Фактор	Текущая	Текущая	Взнос на
1	стоимость	единицы	фонда	стоимость	стоимость	амортизацию
	единицы	за период	возмещения	единицы	аннуитета	единицы
1	1.08000	1,00000	1,00000	0,92593	0,92593	1,08000
2	1,16640	2,08000	0,48077	0,85734	1,78326	0,56077
3	1,25971	3,24640	0,30803	0,79383	2,57710	0,38803
4	1.36049	4,50611	0,22192	0,73503	3.31213	0,30192
5	1,46933	5,86660	0,17046	0,68058	3,99271	0,25046
6	1,58687	7,33593	0,13632	. 0,63017	4,62288	0,21632
7	1,71382	8,92280	0,11207	0,58349	5,20637	0,19207
8	1.85093	10,63663	0,09401	0,54027	5,74664	0.17401
9	1.99900 •	12,48756	0,08008	0,50025	6,24689	0.16008
10	2,15892	14.48656	0.06903	0,46319	6,71008	0,14903

Решение. Используя уравнение (1), имеем: FV₅ = 1000 X (1 ♦ 0,8)⁵ = 1000 X 1,46933 = 1469,33 доллара.

Используя уравнение (2) и таблицу шести функций денег, имеем:

FV₅ = 1000 X FVIF (0,08, 5) - 1000 X 1,46933 = 1469,33 доллара.

Б. Будущая стоимость обыкновенного аннуитета опреде­ляется по формуле:

(3)

где FVA_N — будущая стоимость аннуитета в период времени N; А — обыкновенные равномерные платежи.

' Используя фактор процента, можно определить будущую стоимость аннуитета таким образом:

FVA_N = А X FVIFA (r, N), (4)

где FVIFA (r, N) — будущее значение фактора процента г в период N.

Значения FVIFA (r, N) приводятся в таблицах шести функций денег (колонка накопления единицы за период).

Задача 8.

Найдите будущую стоимость 1000 долларов обыкновенного аннуитета в течение пяти лет, если процентная ставка равна 8%.

Используя,уравнение (4) и таблицу шести функций денег, получим:

FVA_S = 1000 X FVIFA (0,08, 5) = 1000 X 5,8666 = 5866,60 долларов.

В. Будущая стоимость серий равных платежей определя­ется по формуле:

(5) (6)

Задача 9.

Найдите будущую стоимость серии платежей 1000 долларов через пять лет, если ставка процента равна 8%.

Решение. Используя (5), получим:

Используя (6), получим:

FVAD_S - 1000 X FVIFA (0,08, 5) X 1,08 = 1000 X 5,8666 X 1,08 = 5866,60 доллара.

Текущая стоимость

Определение текущей стоимости необходимо в ситуации, когда известна стоимость будущих денежных потоков, полученных в результате капиталовложений в нулевом периоде. Это можно представить графически.

182

183

Необходимо различать текущую стоимость разового поступле­ния или платежа к текущую стоимость аннуитета.

Уравнения (1) и (7) и уравнения (2) и (8) для текущей и будущей стоимости простых поступлений являются базовыми.

А. Текущая стоимость разового поступления равна:

(7)

Используя фактор процента, получаем:

PV₀ = FV_N X PVIF (r, N), (8)

где PVIF (г, N) — текущее значение фактора для разового прос­того денежного потока в период N под г процентов.

Значения PVIF (г, N) приводятся в таблицах шести функций денег (колонка текущей стоимости единицы). ■

Задача 10.

Найдите текущую стоимость 5000 долларов, которые будут выплачены через семь лет, если процентная ставка в настоящее время 9%.

Решение. Используя уравнение (7), имеем:

Таблица шести функций денег. Ставка дисконта 9% (начисление процентов ежегодно)

Используя уравнение (8) и таблицу шести функций денег, получим: PVq - 5000 X PVIF (0,09, 7) = 5000 X 0,54703 = 2735,17 доллара.

(9) (10)

Б. Текущая стоимость обыкновенного аннуитета опреде­ляется по формуле:

что соответствует:

Значения PVIF A (r, N) приводятся в таблицах шести функций денег (колонка текущей стоимости аннуитета).

Задача 11.

Найдите текущую стоимость 5000 долларов обычного аннуи­тета за семь лет, если процентная ставка равна 9%.

Решение. Используя уравнение (9), имеем:

Используя уравнение (10) и таблицу шести функций денег, получим:

PVA-, = 5000 X PVIF А (0,09, 7) = 5000 X 5,03295 = = 25164,75 доллара.

В. Текущая стоимость серии равных платежей опреде­ляется по формуле:

(П)

где PVAD — текущая стоимость аннуитета в периоде N. Это эквивалентно:

(12)

PVAD = А X PVIF A (r,N)X(l* r). Задача 12.

Найдите текущую стоимость 5000 долларов в виде аннуитет­ных платежей в течение семи лет, если ставка процента равна 9%.

Решение. Используя уравнение (11), получим:

184

185

Графически это можно изобразить следующим образом:

Используя уравнение (12) и таблицу шести функций денег, получим:

PVAD = 5000 X PVIFA (0,09, 7) X 1,09 = 5000 X 5,03295 X 1,09 = = 27429,58 доллара.

Г. Текущая стоимость перпетуитета. Перпетуитет — это обыкновенной аннуитет, который продолжается бесконечно боль­шой период времени. Текущая стоимость перпетуитета определя­ется по формуле:

PVP -Д./ г, (13)

где PVP — текущая стоимость перпетуитета.

Задача 13.

Найдите текущую стоимость перпетуитета, платежи по которо­му составляют 50 долларов в год, если текущая процентная став­ка равна 8%.

Решение. Используя уравнение (13), получим: PVP = 50 : 0,08 = 625 долларов.

Д. Начисление сложных процентов более одного раза в год (компаудинг). При начислении сложных процентов более одного раза в год необходимо учитывать, что все формулы, рассмотрен­ные выше, предполагают начисление процентов один раз в год:

Однако выплата процентов может происходить несколько раз в течение года.

где q — количество начислений процента внутри компаудингового периода. '■■

Если начисление сложного процента происходит более одного раза в год, то уравнение (1) для определения будущей стоимости разовых выплат необходимо видоизменить следующим образом:

Таким образом, q = 2, если начисления происходят два раза в течение года, q = 12 при ежемесячном начислении. И q • 365 при ежедневном начислении.

Преобразуя формулу (14), можно записать:

(15)

Задача 14.

Найдите будущую стоимость депозита в 1000 долларов при начислении 8% ежедневно в течение пяти лет.

Решение. Для ежедневного компаудинга q = 365. С помощью уравнения (14) получим:

Задача 15.

Найдите будущую стоимость депозита в 1000 долларов, если начисление 8% производится ежедневно в течение 5 лет.

Решение. Используя уравнение (16), получим:

FV₅ = 1000 X е^008х5 = 1000 X 1,491825 = 1491,83 доллара.

Ж. Эффективная годовая ставка — это обыкновенная став­ка процента, эквивалентная тому уровню, который возникает в результате непрерывного начисления в течение года, что следует из формулы:

186

187

(17)

где EAR — эффективная годовая ставка, r_nom — номинальный годовой процент.

Задача 16.

Определите эффективную годовую процентную ставку по депозиту, по которому выплачивают 8% годовых, но начисляемых ежедневно.

Решение. Используя уравнение (17), получим: