IV группа аксиом – аксиомы подвижности

Структура аксиоматики Погорелова А.В.

Структура аксиоматики Колмогорова А.Н.

Структура

S={M₁, M₂, М₃, М₄ Δ₁‚ Δ₂‚ Δ₃‚ Δ₄, }

S'={M'₁, M'₂, М'₃, Δ'₁‚ Δ'₂ }

Неопреде-ляемые понятия

Точка, прямая, плоскость

Точка, прямая, некоторые неотрицательные числа

Отношения

отношение принадлежности, отношение «лежать между», отношение расстояния, отношение существования.

Отношение принадлежности, тернарное отношение

Список

аксиом

I группа – аксиомы принадлежности точек и прямых на плоскости.

Аксиома. I Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащей ей.

II группа – аксиомы расположения точек на прямой.

Аксиома.II.1 Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими

Аксиома.II.2 Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. ΑB⋔а, СD⋂а, АВ∊α, С∊α, D∊β

Аксиома.II.3 Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данный полупрямой.

III группа – аксиомы измерения отрезков и углов.

Аксиома III.1 Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

Аксиома.III. 2 каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 градусов. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящем между его сторонами.

IV группа – аксиомы откладывания отрезков и углов.

Аксиома.IV.1 На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длинны и только один.

Аксиома.IV.2 От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180 градусов, и только один.

V – аксиома параллельных прямых.

Аксиома.V Через точку, не лежащей на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

I группа – аксиомы принадлежности точек и прямых на плоскости.

Аксиома. I .1 Каждая прямая есть множество точек.

Аксиома. I.2 Для любых двух точек существует одна и только одна содержащая их прямая.

Аксиома. I.3 существует хотя бы одна прямая; каждой прямой принадлежит хотя бы одна точка.

II группа – аксиомы расстояния.

Аксиома. II .1 любым точкам А и В поставлено в соответствии неотрицательное действительное число |АВ|, называемое расстоянием от точки А до точки В. Расстояние |АВ| равно нулю тогда и только тогда, когда точки А и В совпадают.

Аксиома. II.2 Расстояние от точки А до точки В равно расстоянию от точки В до точки А.

|АВ| =|ВА|. Расстояние не меняется от порядка название точек.

Аксиома. II.3 Для любых точек А,В и С расстояние от А до С не больше суммы расстояний от А до В и от В до С.

III группа – аксиомы порядка

Аксиома. III.1. Три точки принадлежат одной прямой тогда и только тогда, когда одна из них лежит между двумя другими.

Аксиома . III.2. Любая точка прямой разбивает множество отличных от нуля точек прямой на два множества непустых подмножества так, что точка лежит между любыми двумя другими точками, принадлежащим разным подмножествам.

Аксиома III.3. Для любого неотрицательного действительного числа х на заданном луче существует одна и только одна точка, расстояние от которой до начала луча равно х.

Аксиома III.4. любая прямая разбивает множество не принадлежащих ей точек плоскости на две непустые выпуклые области.

IV группа – аксиомы подвижности

Аксиома IV.1. Для любой пары лучей и прилежащих к ней полуплоскостей существует единственное перемещение, отображающее один луч на другой, а полуплоскость на другую полуплоскость.

V группа – аксиомы параллельных

Аксиома V. Через данную точку плоскости проходит не более одной прямой, параллельной данной прямой.

Список

теорем

Теорема . I' .1 Каждая прямая есть множество точек.

Теорема . I'.2 Для любых двух точек существует одна и только одна содержащая их прямая.

Теорема I'.3 существует хотя бы одна прямая; каждой прямой принадлежит хотя бы одна точка.

Теорема . II' .1 любым точкам А и В поставлено в соответствии неотрицательное действительное число |АВ|, называемое расстоянием от точки А до точки В. Расстояние |АВ| равно нулю тогда и только тогда, когда точки А и В совпадают.

Теорема II'.2 Расстояние от точки А до точки В равно расстоянию от точки В до точки А.

|АВ| =|ВА|. Расстояние не меняется от порядка название точек.

Теорема . II'.3 Для любых точек А,В и С расстояние от А до С не больше суммы расстояний от А до В и от В до С.

Теорема III'.1. Три точки принадлежат одной прямой тогда и только тогда, когда одна из них лежит между двумя другими.

Теорема III'.2. Любая точка прямой разбивает множество отличных от нуля точек прямой на два множества непустых подмножества так, что точка лежит между любыми двумя другими точками, принадлежащим разным подмножествам.

Теорема III'.3. Для любого неотрицательного действительного числа х на заданном луче существует одна и только одна точка, расстояние от которой до начала луча равно х.

Теорема III'.4. любая прямая разбивает множество не принадлежащих ей точек плоскости на две непустые выпуклые области.

Теорема IV'. Для любой пары лучей и прилежащих к ней полуплоскостей существует единственное перемещение, отображающее один луч на другой, а полуплоскость на другую полуплоскость.

Теорема V'. Через данную точку плоскости проходит не более одной прямой, параллельной данной прямой.

Теорема I Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащей ей..

Теорема .II.1 Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими

Теорема .II.2 Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. ΑB⋔а, СD⋂а, АВ∊α, С∊α, D∊β

Теорема .II.3 Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данный полупрямой.

Теорема III.1 Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

Теорема .III. 2 каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 градусов. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящем между его сторонами.

Теорема .IV.1 На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длинны и только один.

Теоерма .IV.2 От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180 градусов, и только один.

Теорема .V Через точку, не лежащей на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.