Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний. Фигуры Лиссажу.

Пусть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях: одно направлено вдоль оси ОХ, другое — вдоль оси OY. Колебания зада­ны следующими уравнениями:

; (4)

Допустим, что частоты колебаний одинаковы, т. е. ω₀₁ = ω_о2 = ω₀, тогда

;(5)

Уравнения (5) задают траекторию движения материальной точки в параметрической форме. Если в эти уравнения подставлять разные зна­чения t, то можно определить координаты х и у, а совокупность коорди­нат и есть траектория. Более наглядно траекторию можно представить в виде зависимости у = f(x), для получения которой следует исключить время из уравнений (5). Произведя математические преобразования, получим уравнение эллипса:

. (6)

Таким образом, при одновременном участии в двух взаимно перпен­дикулярных гармонических колебаниях одинаковой частоты, материаль­ная точка движется по эллиптической траектории (рис. 5).

Из выражения (6) вытекают следующие частные случаи:

1) , гдеk = 0, 1, 2, ….; ,, тогда

(7)

Это каноническая форма уравнения эллипса, соответствующая сим­метричному расположению его относительно осей координат (рис. 6, а). Из (7) при A₁ = А₂ = R (рис. 6, б) получаем, как част­ный случай, уравнение окружности радиусом R:

x² + y² = R²; (8)

2) ) , гдеk = 0, 1, 2, ….; ,, тогда

, (9)

или после преобразований

, ,(10)

Этоуравнение прямой, в которую вырождается эллипс (рисунку 7, а соответствует знак «+» в уравнении (10); рисунку 7, б — знак «-»).

При сложении взаимно перпендикулярных колебаний разных частот получаются различные траектории колеблющейся материальной точки, названные фигурами Лиссажу. Вид фигур Лиссажу зависит от отношения частот — и разности начальных фазφ₀₁ - φ₀₂ слагаемых колебаний (рис.8).

Фигуры Лиссажу используют для настройки радиоизмерительной и ремонтной аппаратуры.

II. Приборы и принадлежности

1. Электронный милливольтметр.

2. Звуковой генератор ГЗ-53.

3. Звуковой генератор Г3-112.

4. Осциллограф.

5. Источник переменного тока.

6. Трансформатор.

7. Соединительные провода.

III. Описание экспериментальной установки и метода измерения

Осциллограф позволяет наблюдать и измерять периодические и импульсные электрические сигналы в диапазоне амплитуд от 0,01 В до 500 В в диапазоне частот периодических сигналов от 0 до 20 МГц, параметров импульсов длительностью от 0,1 мкс. до 0,5с с частотой следования от 200 Гц до 500 кГц.

На лицевой панели расположены следующие органы управления:

1. Ручки "Яркость" - ☼, "Фокус" - и "Астигматизм" - служат для установки необходимой яркости и четкости изображения.

2. Ручкой "Освещение шкалы" - - регулируют освещение шкалы.

3. Ручки, обозначенные двухсторонними стрелками, служат для перемещения изображения по вертикали и горизонтали.

4. Ручка "Усиление" (плавная регулировка чувствительности усилителя канала У) служит для точной установки калиброванной чувствительности.

5. Сдвоенные ручки установки чувствительности V/дел: большая ручка - переключение диапазонов; малая (►)- регулировка чувствительности усилителя.

6. Тумблер для переключения входов усилителя У.

7. Клавиша "Сеть" для включения и выключения питания прибора.

8. Переключатели "Синхронизация" устанавливают вид синхронизации.

9. Регулятор "Режим запуска" устанавливает чувствительность запуска генератора развертки.

Работа с усилителем 

Калибровка чувствительности производится с помощью собственного калибратора амплитуды. Калиброванное напряжение подается на вход осциллографа.

Для калибровки усилителя Y устанавливают один из диапазонов развертки, обеспечивающий две горизонтальные параллельные линии изображения прямоугольного напряжения калибратора. Совместными действиями ручек "Усиление" («V/Дел») и "Смещение по вертикали" («↕») добиваются размаха сигнала по вертикали в 6 дел. шкалы.

Переключатели режима работы входов усилителя:

«~» - на вход усилителя исследуемый сигнал поступает через разделительный конденсатор (закрытый вход);

- на вход усилителя исследуемый сигнал поступает с постоянной составляющей (открытый вход);

«» - вход усилителя подключен к корпусу.

Переключатели режима работы усилителя:

«I» - на экране наблюдается сигнал канала I;

«II», «X—Y» - на экране наблюдается сигнал канала II;

«I ± II» - экране наблюдается алгебраическая сумма сигналов каналов I и II;

«…» — на экране наблюдаются изображения сигна­лов обоих каналов, их переключение осуществляется с часто­той 100 кГц;

«→ →» — на экране наблюдаются изображения сигналов обоих каналов, их переключение осуществляется в конце каждого прямого хода развертки.

переключатель инвертирования сигнала во II канале в положениях:

— фаза сигнала не меняется;

— фаза сигнала меняется на 180⁰;

переключатели изменения усиления каналов в 10 раз, сов­мещенные с ручкой «↕», в положениях:

«xl» — коэффициент отклонения канала соответствует по­ложению аттенюатора;

«х10» — коэффициент отклонения канала соответствует по­ложению аттенюатора, умноженному на 10.

При работе с уже откалиброванным усилителем нельзя трогать ручку "Усиление" во избежание ухода калибровки.

Работа с генератором развертки

Генератор развертки может быть запущен или самим исследуемым сигналом при внутреннем запуске или внешними запускающими сигналами при внешнем запуске. Для запуска развертки внутренним сигналом, ручки переключателя "Синхронизация" устанавливаются в одно из 3-х положений внутренней синхронизации:

1. "От сети" - когда исследуется напряжение, связанное с частотой сети.

2. "=" - для низких частот от 0 Гц до 500 Гц и исследования изменений постоянных напряжений

3. " ~" - для переменных напряжений частотой от 20 - 30 Гц до 3 Гц.

Для осуществления внешней синхронизации необходимо переключатель "Синхронизация" поставить в одно из 3 положений для внешней синхронизации.

Переключатель источника синхронизации в положениях:

«ВНУТР I» — развертка синхронизируется сигналом с пер­вого канала;

«ВНУТР I, II» — развертка синхронизируется сигналами обоих каналов (или одного);

«0,5-5 ВНЕШН» — развертка синхронизируется внешним сигналом амплитудой 0,5-5 В;

«5-50 ВНЕШН» — развертка синхронизируется внешним сиг­налом амплитудой 5-50 В;

«X—Y» — вход усилителя X отключается от генератора раз­вертки и подключается к 1-му каналу усилителя Y, работа ге­нератора развертки прекращается.

Переключатель режима работы входа синхронизации в положениях:

« ~ » — закрытый вход синхронизации;

—открытый вход синхронизации.

—открытый вход синхронизации, подключается фильтр нижних частот.

Переключатель полярности синхронизирующего сигнала в положениях:

« + » — развертка синхронизируется положительным перепадом запускающего сигнала;

«—» — развертка синхронизируется отрицательным пере­падом запускающего сигнала;

— гнездо для подачи внешнего синхронизи­рующего сигнала.

Органы управления разверткой.

Необходимая длительность развертки на 1 см шкалы экрана устанавливается с помощью переключателя "Длительность" и "Множитель" («Время/Дел»). При использовании плавной регулировки длительности калибровка развертки изменяется и не соответствует значениям фиксированных диапазонов. В крайнем правом положении ручка "Длительность плавно" («►») фиксируется механически. Только в этом положении производится калибровка фиксированных диапазонов длительности развертки.

потенциометр «↔» — обеспечивает перемещение луча по горизонтали.

переключатель «xl, хО,2» — увеличивает скорость разверт­ки в положении «хО,2» в 5 раз.

С помощью ручек "Режим запуска" («ЖДУЩ») и "Уровень запуска" («АВТ») устанавливается ждущий или автоколебательный режим развертки, а также уровень напряжения запускающего генератора развертки.

Измерение напряжений

Точность измерений напряжения с помощью осциллографа невысока, так как весьма значительные погрешности вносят калибратор и субъективное определение размаха напряжения на экране.

Однако измерение напряжений с помощью осциллографа имеет и свои достоинства, в частности возможность проведения измерений напряжения в широком диапазоне частот и измерение мгновенных значений напряжения при любой форме сигнала.

При откалиброванном усилителе "Y" измерение напряжений проводится согласно правилам использования усилителя "Y": сигнал подключается ко входу усилителя и измеряется исследуемый размах изображения по вертикали в дел (см). Величина исследуемой амплитуды будет равна произведению измеренной величины изображения, умноженной на цифровую отметку постоянной.

Измерение частоты, периода

Калиброванные фиксированные длительности развертки прибора дают возможность путем измерения по шкале расстояния по горизонтали определять интервалы времени или период сигнала с погрешностью не превышающей  5 % при измеряемом размере от 90 мм до 40 мм. Методика измерения заключается в следующем: используя деления шкалы, измеряем горизонтальное расстояние между двумя точками (рис.9), интервал времени между которыми необходимо измерить. Потом расстояние по шкале в сантиметрах умножается на цифровое значение индекса установленной длительности развертки.

Зная период, всегда можно определить частоту исследуемого сигнала, поскольку

. (11)

Кроме того, хорошо оправдавшим себя на практике является способ, при котором подсчитывается расстояние в сантиметрах целого числа периодов сигнала, укладывающихся наиболее близко к 9 см длины шкалы. Тогда искомая частота сигнала равна

(12)

где n - число периодов;

l - расстояние в см;

Т_р- длительность развертки

Измерение фазового сдвига с помощью фигур Лиссажу

Данный метод используется для определения фазовой разности между двумя сигналами одной частоты. Он удобен для сигналов частотой до 100 Гц.

Если подать синусоидальное напряжение одинаковой частоты на вертикальные и горизонтальные пластины осциллографа, то на экране будет наблюдаться фигура Лиссажу, соответствующая сложению подаваемых на пластины взаимно-перпендикулярных колебаний. Т.к. частоты складываемых колебаний равны, то катодный луч должен высвечивать на экране осциллографа эллипс.

Ориентация эллипса по отно­шению к осям координат зависит от угла, соответствующего разности фаз φ. Так, например, при φ = 0, π/2, π и т. д. оси эллипса совпадают с осями координат.

Тогда sin φ можно найти разделив А на Б (рис.10), где Б — максимальное отклонение по вертикали:

. (13)