2.2 Измерение электрических сопротивлений мостиком Уитстона

Цель работы: Определить сопротивление проводника проверить закономерности последовательного и параллельного соединений.

I. Теоретическое введение

Согласнозакону Ома для однородного участка цепи (рис.1), сила тока в проводнике прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению.

(1)

Величина сопротивления R зависит от формы проводника, а также от свойств материала, из которого он изготовлен. В частном случае для проводника, сечение которого постоянно по всей длине

(2)

где l-длина проводника;

S – площадь его поперечного сечения;

ρ – удельное сопротивление, зависящее от свойств проводника.

Величина, обратная удельному сопротивлению, называется удельной электропроводимостью или удельной проводимостью.

(3)

На практике электрические цепи никогда не состоят из однородных проводов постоянного сечения, а представляют собой совокупность различных проводников, определенным образом соединенных между собой.

Рассмотрим два проводника, включенные в цепь последовательно (рис.2)

Сила тока I в обоих проводниках одинакова. Напряжения U₁ и U₂ на этих проводниках различны

U₁= IR₁ , U₂= IR₂ (4)

Поэтому (5)

При последовательном соединении напряжение на каждом из проводников пропорционально его сопротивлению. Полное напряжение U равно сумме этих напряжений

U= U₁ + U₂ (6)

Так как U= IR, (7)

то R=R₁+ R₂ (8)

В случае n проводников, соединенных последовательно, общее сопротивление определяется по формуле:

R=R₁+ R₂ + …+ R_n= (9)

В случае параллельного соединения проводников R₁ и R₂ (рис.5) ток разветвляется на два. При этом

I= I₁ + I₂ (10)

U₁ = U₂= U (11)

U= I₁ R₁ (12)

U= I₂ R₂ (13)

Следовательно (14)

При параллельном соединении силы токов в отдельных проводниках обратно пропорциональны их сопротивлениям. Подставив формулы (12), (13) в (10), учитывая, что

(15)

получим

(16)

Если параллельно соединены n проводников, то общее сопротивление определяется по формуле:

(17)

II. Приборы и принадлежности

1. Неизвестные сопротивления.

2. Реохорд.

3. Нуль-гальванометр.

4. Магазин сопротивлений

5. Ключ.

6. Соединительные провода.

III. Описание экспериментальной установки и метода измерения

В работе для измерения сопротивления используется мостовой метод.

Измерительная мостовая схема проставлена на рис 4.

Сопротивленияr₁,r₂ ,r₃ ,r₄ образуют замкнутый четырехугольник. В одну из диагоналей (АВ) включен источник тока ε. В другую диагональ (СD) включен чувствительный гальванометр G.

Само название схемы - "измерительный мост" - обусловлено включением в цепь нуль-гальванометра.

Цепь гальванометра образует мост, соединяющий противоположные вершины четырехугольника. Сопротивления r₁, r₂ ,r₃ ,r₄ называются плечами моста.

При произвольном соотношении сопротивлений r₁,r₂ ,r₃ ,r₄ в плечах моста при замкнутом ключе К через гальванометр будет протекать ток. Однако можно подобрать такие соотношения сопротивлений плеч, при которых ток в гальванометре становится равным нулю. В этом случае мост называют уравновешенным.

Найдем условие равновесия моста.

По закону Ома напряжение в плечах моста определяется по формулам:

,

(18)

,

Так как в случае равновесия моста ток через гальванометр не течет, то точки С и D имеют одинаковые потенциалы (φ_с = φ_d). Значит и напряжения ибудут равны. Аналогично. С учетом формул (19) получим

и (19)

Разделим формулы (19) друг на друга и учтем, что I₃ = I₄ и I₁ = I₂ (т.к. ток в точках С и D не разветвляется). Получим:

(20)

Из этого соотношения можно получить величину любого из четырех сопротивлений, включенных в плечи моста, если известны три других сопротивления.

Все принадлежности, необходимые для проведения работы смонтированы на передней панели установки (рис.5).

Реохорд (на рис.5.-АВ) - деревянный брусок с нанесенными на него миллиметровыми делениями длиной 500 мм, вдоль которого по направляющим может двигаться ползунок. Металлическая пластинка, укрепленная на ползунке клеммой D, может скользить ребром по проводнику АВ, образуя с ним контакт. Концы проводка закреплены клеммами А и В. Проволока имеет постоянную вдоль всей длины площадь сечения S и изготовлена из сплава, имеющего большое удельное сопротивление ρ.

К клеммам А и В через ключ К подключен источник питания ε. Через R на схеме обозначен магазин сопротивлений, сопротивление которого задается . R_x - одно из неизвестных сопротивлений.

Сравнение принципиальной мостовой схемы рис. 4 с рабочей схемой (рис.5), показывает, что сопротивлениями r₁ и r₂ являются сопротивления частей АD и DВ проволоки, сопротивлением r₃ - магазин сопротивлений R, а r₄ -неизвестное сопротивление R_x.

Сопротивление частей проволоки АD и DВ найдем по формуле (2):

; ,

где l₁=АD, l₂=DВ.

Подставим все сопротивления в формулу (20)

Сократив на ρ и S получим:

(22)

Откуда неизвестное сопротивление:

. (23)