3. Методическое и материально-техническое обеспечение

3.1. Методические указания по выполнению лабораторной работы – по числу студентов, присутствующих на занятиях.

3.2. Раздаточный материал (индивидуальные исходные данные, персональный компьютер для выполнения вычислений с использованием EXCEL) — по числу студентов.

Лабораторная работа № 8 графический метод решения задач линейного программирования

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ:приобрести навыки решения задач линейного программирования с использования графического метода, а также закрепления полученных навыков решения задачи с использованием средыMSEXCEl

2. Содержание работы

2.1 Ознакомиться с теоретическими предпосылками изложенными в данной лабораторной работе, углубить знания с использованием дополнительной литературы

2.2 Изучить и разобрать пример расчета.

2.3 Для исходных данных индивидуального задания выполнить расчеты.

2.4. Выполнить анализ результатов и сделать выводы

Теоретическое введение

Графический метод довольно прост и нагляден для решения задач ЛП с двумя переменными. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений и ЦФ задачи.

Каждое из неравенств задачи ЛП (1.1) определяет на координатной плоскости некоторую полуплоскость (рис. 2.1), а система неравенств в целом – пересечение соответствующих плоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений (ОДР). ОДР всегда представляет собой выпуклую фигуру, т.е. обладающую следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей. ОДР графически может быть представлена выпуклым многоугольником, неограниченной выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучем, одной точкой. В случае несовместности системы ограничений задачи (1.1) ОДР является пустым множеством.

Все вышесказанное относится и к случаю, когда система ограничений(1.1) включает равенства, поскольку любое равенствоможно представить в виде системы двух неравенств(см. рис. 1)

ЦФ при фиксированном значенииопределяет на плоскости прямую линию. Изменяя значения L, мы получим семейство параллельных прямых, называемыхлиниями уровня.

Это связано с тем, что изменение значения L повлечет изменение лишь длины отрезка, отсекаемого линией уровня на оси (начальная ордината), а угловой коэффициент прямойостанется постоянным (см. рис. 2.1).

Поэтому для решения будет достаточно построить одну из линий уровня, произвольно выбрав значение L.

Вектор с координатами из коэффициентов ЦФ прииперпендикулярен к каждой из линий уровня (см. рис. 2.1).Направление вектора совпадает с направлениемвозрастания ЦФ, что является важным моментом для решения задач. Направлениеубывания ЦФпротивоположно направлению вектора .

Суть графического метода заключается в следующем. По направлению (против направления) вектора в ОДР производится поиск оптимальной точки. Оптимальной считается точка, через которую проходит линия уровня, соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции. Оптимальное решение всегда находится на границе ОДР, например, в последней вершине многоугольника ОДР, через которую пройдет целевая прямая, или на всей его стороне.

При поиске оптимального решения задач ЛП возможны следующие ситуации: существует единственное решение задачи; существует бесконечное множество решений (альтернативный оптиум); ЦФ не ограничена; область допустимых решений – единственная точка; задача не имеет решений.

Методика решения задач ЛП графическим методом

1) В ограничениях задачи (1.1) замените знаки неравенств на знаки точных равенств и постройте соответствующие прямые.

2) Найдите и заштрихуйте полуплоскости, разрешенные каждым из ограничений-неравенств задачи (1.1). Для этого подставьте в конкретное неравенство координаты какой-либо точки [например, (0;0)], и проверьте истинность полученного неравенства.

Рис. 2.1. Геометрическая интерпретация ограничений и ЦФ задачи ЛП(1.1)

Если неравенство истинное,то надо заштриховать полуплоскость, содержащую данную точку;иначе (неравенство ложное) надо заштриховать полуплоскость, не содержащую данную точку.

Поскольку идолжны быть неотрицательными, то их допустимые значения всегда будут находиться выше осии правее оси, т.е. в I-м квадранте.

Ограничения-равенства разрешают только те точки, которые лежат на соответствующей прямой, поэтому выделите на графике такие прямые.

3) Определите ОДР как часть плоскости, принадлежащую одновременно всем разрешенным областям, и выделите ее. При отсутствии ОДР задача не имеет решений, о чем сделайте соответствующий вывод.

4) Если ОДР – не пустое множество, то постройте целевую прямую, т.е. любую из линий уровня , где– произвольное число, например, кратноеи, т.е. удобное для проведения расчетов. Способ построения аналогичен построению прямых ограничений.

5) Постройте вектор , который начинается в точке (0;0), заканчивается в точке. Если целевая прямая и векторпостроены верно, то они будутперпендикулярны.

6) При поиске max ЦФ передвигайте целевую прямую в направлении вектора, при поиске min ЦФ –против направления вектора.Последняя по ходу движения вершина ОДР будет точкой max или min ЦФ. Если такой точки (точек) не существует, то сделайте вывод онеограниченности ЦФ на множестве планов сверху (при поиске max) или снизу (при поиске min).

7) Определите координаты точки max (min) ЦФ и вычислите значение ЦФ. Для вычисления координат оптимальной точкирешите систему уравнений прямых, на пересечении которых находится.