1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

Предположив,что кости «правильные»,мы можем воспользоваться

табл. A.1для определения вероятности каждого значения x .Поскольку на

костях имеется 36различных комбинаций,каждый исход имеет вероятность

1/36. Лишь одна из возможных комбинаций {зеленая=1,красная=1}дает

сумму,равную 2,так что вероятность X 2 равна 1/36.Чтобы получить

сумму x 7 ,нам потребуются сочетания {зеленая=1,красная=6},либо

{зеленая=2,красная=5},либо {зеленая=3,красная=4},либо {зеленая=4,

красная=3},либо {зеленая=5,красная=2},либо {зеленая=6,красная=1}.В

данном случае нас устроят 6возможных исходов,и поэтому вероятность

получения 7равна 6/36.Все эти вероятности приведены в табл. A.2.Если все

их сложить,то получится ровно 1.Это будет так,поскольку с вероятностью

100% рассматриваемая сумма примет одно из значений от 2до 12.

Таблица A.2

Значения x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Вероятность 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Совокупность всех возможных значений случайной переменной

описывается генеральной совокупностью,из которой извлекаются эти

значения.В нашем случае генеральная совокупность –это набор чисел от 2

до 12.

127

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическое ожидание дискретной случайной величины –это

взвешенное среднее всех ее возможных значений,причем в качестве

весового коэффициента берется вероятность соответствующего исхода.Вы

можете рассчитать его,перемножив все возможные значения случайной

величины на их вероятности и просуммировав полученные произведения.

Математически если случайная величина обозначена как x ,то ее

математическое ожидание обозначается как M xили x m .

Предположим,что x может принимать n конкретных значений

1 2 , , ..., n x x x и что вероятность получения i x равна i p .Тогда

1 1 2 2

1

...

n

n n i i

i

M x x p x p x p x p



Σ . (A.1)

В случае с двумя костями величинами от 1 x до n x были числа от 2до

12. Математическое ожидание рассчитывается так:

1 2 3 2 1

2 3 4 ... 11 12 7

36 36 36 36 36

M x .

Прежде чем пойти дальше,рассмотрим еще более простой пример

случайной переменной –число очков,выпадающее при бросании лишь

одной игральной кости.

В данном случае возможны шесть исходов:1 x 1,2 x 2 , …,6 x 6.

Каждый исход имеет вероятность 1/6,поэтому здесь

1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6 3,5

6 6 6 6 6 6

M x . (A.2)

В данном случае математическим ожиданием случайной переменной

является число,которое само по себе не может быть получено при бросании

кости.

128

Математическое ожидание случайной величины часто называют ее

средним по генеральной совокупности.Для случайной величины x это

значение часто обозначается как .

Математические ожидания функций дискретных случайных

переменных

Пусть g x–некоторая функция от x .Тогда M g x–

математическое ожидание g xзаписывается как

i i M g x Σg x p , (A.3)

где суммирование производится по всем возможным значениям x .В табл.

A.3 показана последовательность практического расчета математического

ожидания функции от x .

Таблица A.3

x Вероятность Функция от x Функция,взвешенная по

вероятности