1 2 3 4

1 x 1 p 1 g x 1 1 g x p

2 x 2 p 2 g x 2 2 g x p

… … … …

n x n p n g x n n g x p

Всего i i M g X Σg x p

Предположим,что x может принимать n различных значений от 1 x до

n x с соответствующими вероятностями от 1 p до n p .В первой колонке

записываются все возможные значения x .Во второй –записываются

соответствующие вероятности.В третьей колонке рассчитываются значения

функции для соответствующих величин x .В четвертой колонке

перемножаются числа из колонок 2и 3.Ответ приводится в суммирующей

строке колонки 4.

129

Рассчитаем математическое ожидание величины

x2 .Для этого

рассмотрим пример с числами,выпадающими при бросании одной кости.

Использовав схему,приведенную в табл. A.3,заполним табл. A.4.

Таблица A.4

i x i p 2

i x 2

i i x p

1 2 3 4

1 1/6 1 0,167

2 1/6 4 0,667

3 1/6 9 1,500

4 1/6 16 2,667

5 1/6 25 4,167

6 1/6 36 6,000

Всего 15,167

В четвертой ее колонке даны шесть значений

x2 ,взвешенных по

соответствующим вероятностям,которые в данном примере все равняются

1/6. По определению,величина M x2 равна

2

i i Σx p ,она приведена как

сумма в четвертой колонке и равна 15,167.

Математическое ожидание x ,как уже было показано,равно 3,5,и 3,5в

квадрате равно 12,25.Таким образом,величина M x2 не равна

2 ,и,

следовательно,нужно аккуратно проводить различия между M x2 и

2 M x .

Правила расчета математического ожидания

Существуют __________три правила,которые часто используются.Эти правила

практически самоочевидны,и они одинаково применимы для дискретных и

непрерывных случайных переменных.

Правило 1. Математическое ожидание суммы нескольких переменных

равно сумме их математических ожиданий.Например,если имеются три

случайные переменные x ,y и z ,то

130

M x y z M xM yM z. (A.4)

Правило 2. Если случайная переменная умножается на константу,то ее

математическое ожидание умножается на ту же константу.Если x –

случайная переменная и a –константа,то

M a xa M x. (A.5)

Правило 3. Математическое ожидание константы есть она сама.

Например,если a –константа,то

M aa . (A.6)

Следствие из трех правил:

M a b xa b M x.

Независимость случайных переменных

Две случайные переменные x и y называются независимыми,если

M f xg yM f xM g y(A.7)

для любых функций f xи g y.Из независимости следует как важный

частный случай,что M x yM xM y.

Теоретическая дисперсия дискретной случайной переменной

Теоретическая дисперсия является мерой разброса для вероятностного

распределения.Она определяется как математическое ожидание квадрата

разности между величиной x и ее средним,т.е.величины 2 x ,где –

математическое ожидание x .Дисперсия обычно обозначается как

2

x или

Dx,и если ясно,о какой переменной идет речь,то нижний индекс может

быть опущен:

2 2 2

1

n

x i i

i

D x M x x p



Σ . (A.8)

131

Из

2

x можно получить x –среднее квадратическое отклонение –

столь же распространенную меру разброса для распределения вероятностей;

среднее квадратическое отклонение случайной переменной есть квадратный

корень из ее дисперсии.

Мы проиллюстрируем расчет дисперсии на примере с одной игральной

костью.Поскольку M x,то 2 x в этом случае равно 2 x 3,5 .

Мы рассчитаем математическое ожидание величины 2 x 3,5 ,используя

схему,представленную в табл. A.5.Дополнительный столбец x 

представляет определенный этап расчета 2 x .Суммируя последний

столбец в табл. I.5,получим значение дисперсии

2

x ,равное 2,92.

Следовательно,стандартное отклонение (x )равно 2,92 ,то есть 1,71.

Таблица A.5

i x i p i x 2

i x 2

i i x p