9.3. Закон сложения скоростей в специальной теории относительности

Пусть в трехмерном пространстве движется некоторая материальная точка M (рис. 5.1), причем в условно неподвижной системе отсчета К со скоростью, а в подвижной системе К' - со скоростью . Найдем соотношение между скоростямии.

Это соотношение будет вполне определено, если будут найдены соотношения между проекциями ректоров и на соответствующие оси:

и ^, и^, и^. (9.8)

Из преобразований Лоренца (8.7) найдем дифференциалы величин и :

, ,,(9.9)

и подставим их в (9.8)

;

;

.

Разделив числители и знаменатели правых частей полученных выражений на , получим:

^{; ;} (9.10)

Формулы (9.10) представляют собой математическую запись закона сложения скоростей в специальной теории относительности.

Нетрудно убедиться в том, что при , то есть при малых скоростях движения, соотношения (9.10) переходят в формулы сложения скоростей классической механики:

; ;

или в векторной форме

.

9.4. Пространственно-временной интервал

Из принципа относительности Эйнштейна следует, что должны существовать такие математические формулировки законов физики, которые имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета. Такие формулировки физических законов называются релятивистки инвариантными.

В преобразования Лоренца (3.8) время входит равноправно с пространственными координатами. Это демонстрирует неразрывную связь пространства и времени и отражает тот факт, что наш мир четырехмерен.

Событие, которое происходит с любой материальной частицей, определяется четырьмя координатами в пространстве-времени: тремя пространственными (например, x, y, z) и одной временной (t). Точка четырехмерного пространства-времени с координатами x,y,z,t называется мировой точкой.

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета в точках А и В с координатами x₁,y₁,z₁ и x₂,y₂,z₂ произошли соответственно в моменты времени t₁ и t₂ два события. При переходе в другую инерциальную систему отсчета с помощью преобразований Галилея координаты точек А и В изменятся (5.1). Однако, как нетрудно убедиться, пространственный интервал между ними и временной интервалостанутся неизменными, инвариантными к преобразованиям Галилея, то есть

(9.11)

В релятивисткой механике пространственные и временные интервалы не инвариантны к преобразованиям Лоренца (8.7).

В специальной теории относительности инвариантной по отношению к преобразованиям Лоренца является величина , называемаяпространственно-временным интервалом между точками А(x₁,y₁,z₁) и В(x₂,y₂,z₂) в моменты времени t₁ и t₂:

. (9.12)

С учетом (9.11) выражение (9.12) можно записать в виде

. (9.13)

Таким образом, расстояние между точками и время между событиями, взятые раздельно друг от друга, относительны (различны в разных системах отсчета). Однако, образуя пространственно-временной интервал (9.13), они могут использоваться для абсолютной характеристики событий.

Взаимосвязь пространства и времени при переходе из одной системы отсчета в другую проявляется в том, что определенному изменению расстояния соответствует такое изменение времени между событиями, которое оставляет постоянным.

Различают времениподобные и пространственноподобные интервалы.

Времениподобными называют действительные интервалы, для которых .

Для событий, связанных такими интервалам, ^, то есть во всех системах отсчета промежуток времени между событиями больше времени, в течение которого свет проходит расстояние между точками, в которых эти события произошли.

Отсюда следует, что времениподобные интервалы связывают такие события, между которыми существует или, в принципе, может существовать причинно-следственная связь.

Пространственноподобными называются интервалы, для которых .

Для событий, связанных такими интервалами ^, то есть событие во второй точке происходит раньше, чем к ней дойдет световой сигнал, испущенный из первой точки в момент начала первого события. Поэтому причинно-следственная связь между такими событиями невозможна и эти события между собой абсолютно независимы.