что величина θ&ˆ незначительна и для производной по матрице P выполнено условие:

ρP − P& > 0 ,

где число ρ > 0 .

Основной результат предлагаемой работы сформулирован в следующей теореме. Теорема. Пусть пара (A +βD, B) - полностью управляема для любых значений β .

Пусть допущение выполнено, тогда существует малое положительное число γ такое,

что закон управления (3) при выполнении условия (5), обеспечивает асимптотическую устойчивость положения равновесия x = 0.

Доказательство. Рассмотрим функцию Ляпунова вида:

и, подставляя в (8), имеем следующее неравенство:

дифференциального уравнения (2) с законом управления (3). Последнее, гарантирует выполнение следующего условия:

lim x(t) = 0 ,

t→∞

230

Заключение

Результаты предлагаемой статьи не претендуют на универсальность и общность, а лишь расширяют класс подходов управления линейной системой в условиях неопределенности ее параметров. В работе рассматривается линейный стационарный объект, переменные состояния которого подлежат измерению. Предполагая, что ряд несложных условий выполнен, выбирается закон управления, обеспечивающий асимптотическую устойчивость по части переменных состояния системы, а именно по всем переменным объекта, но не его регулятора.

Литература

1.Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. М. Наука, 1981.

2.Фрадков А.Л. Адаптивное управление в сложных системах. М.: Наука, 1990.

3.Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л., Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. СПб.: Наука, 1999.

4.Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными механическими системами. СПб.: Наука, 2000.

5.Никифоров В.О. Робастное управление линейным объектом по выходу // Автоматика и телемеханика. 1998. № 9.

6.Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Схемы адаптивного управления с расширенной ошибкой. Обзор // Автоматика и телемеханика. 1994. №9.

7.Бобцов А.А., Лямин А.В., Сергеев К.А. Синтез закона адаптивного управления для стабилизации не точно заданных нестационарных объектов // Изв. Вузов Приборостроение. - 2001. - №3.

8.Дроздов В.Н., Мирошник И.В., Скорубский В.И. Системы автоматического управления с микроЭВМ. Л.: Машиностроение. Ленингр. отд-ие, 1989.

231

КРОНЕКЕРОВСКАЯ МАТРИЧНАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ С МОДУЛЯЦИЕЙ

Л.В. Кожевникова, А.В. Ушаков

Решается задача конструирования модели динамических процессов с модуляцией. Для указанных целей используются возможности кронекеровских векторных и матричных структур, получаемую при этом избыточную размерность модели предлагается редуцировать с помощью оператора сужения.

Введение. Постановка задачи

Системы управления и следящие системы с модуляцией составляют заметную часть практики автоматического управления. Модуляторами в таких системах являются: сельсины, поворотные трансформаторы, индуктивные датчики, полудисковые модуляторы лучистой энергии и т.д. [1].

Однако теоретические исследования процессов в системах с модуляцией, иногда именуемых системами на несущей переменного тока [2], в последнее время заметно сократились, причем это произошло на фоне интенсификации исследования динамических систем с использованием возможностей метода пространства состояния

(МПС) [3, 4].

Метод пространства состояния характеризуется значительной алгебраизацией общей теории систем, в рамках которой получены хорошие наработки применительно к кронекеровским матричным структурам [5]. Обнаруживается, что возможности этих структур могут быть эффективно использованы применительно к исследованию систем с модуляцией, причем получаемые модельные представления процессов с модуляцией оказываются максимально адаптированными к инструментарию МПС. Проблемам конструирования моделей динамических процессов с модуляцией на основе используемых возможностей кронекеровских векторных и матричных структур, инвариантных относительно размерности вход – выходных отношений посвящается данная работа.

Свойства векторных и матричных кронекеровских структур

Для целей погружения в сформулированную выше проблему приведем определение векторных и матричных кронекеровских структур, а так же те их свойства, которые непосредственно сориентированы на построение матричной модели процессов

матрицей S вида

232

В качестве одного из свойств кронекеровского произведения векторов рассмотрим правило дифференцирования кронекеровских векторных произведений по скалярному параметру, причем в основном сосредоточимся на случае, когда скалярным параметром является время.

Свойство 1 (СВ.1). Дифференцирование векторной кронекеровской структуры в виде их кронекеровского произведения осуществляется по правилам дифференцирования сложной функции, представленной в мультипликативной форме так, что

X&(t) Y (t) Z(t) + X (t) Y&(t) Z(t) + X (t) Y (t) Z&(t)

Определение 3 (О.3). Кронекеровским произведением прямоугольных матриц A Rn×m , B R p×q называется матрица ( A B) размерности (np × mq) , составленная в

Задача конструирования матричной модели динамических процессов с модуляцией в своей основе использует квадратные матрицы, коими являются матрицы состояния системы, конечномерного источника внешнего воздействия и конечномерного источника модулирующего сигнала, поэтому ниже имеется в виду

где I A , I B - единичные матрицы, согласованные по размерности соответственно с

матрицами А и В.

Примечание 4 (П.4). Для кронекеровской суммы квадратных матриц А и В, а в общем случае и произвольного числа матриц, существует альтернативное название – преобразование Сильвестра матриц, обозначаемое Si{A, B) , тогда оказывается

справедливой запись

Для случая 3-х квадратных матриц А, В, С кронекеровская сумма или их преобразование Сильвестра будет записано в форме

Отметим тут же, что как и кронекеровское произведение матриц кронекеровская сумма не коммутативна.

Кронекеровские матричные структуры обладают следующими свойствами.

233

Свойство 2 (СВ.2). Алгебраический спектр собственных значений кронекеровского произведения A B квадратных матриц A R n×n и B R m×m как матричной функции от матриц обладает тем свойством, что его элементы образованы попарными произведениями собственных значений кронекеровски перемножаемых матриц

σ{ A B} = {μ K : det( μI − A B) = 0; μ K = λ Ai λBj ; i = 1, n; j = 1, m; k = 1, mn} (12)

Свойство 3 (СВ.3). Алгебраический спектр собственных значений кронекеровской суммы A B квадратных матриц A R n×n и B R m×m как матричной функции от матриц обладает тем свойством, что его элементы образованы попарными суммами

Сделаем следующее примечание к свойствам (СВ.2) и (СВ.3).

Примечание 5 (П.5). Алгебраические спектры собственных значений кронекеровских произведений A B и B A в силу (12) совпадают, аналогичным свойством обладают и спектры кронекеровских сумм A B и B A.

Свойство 4 (СВ.4). Определитель кронекеровского произведения квадратных

где A Rn×n и B Rm×m .

Свойство 5 (СВ.5). След кронекеровской суммы квадратных матриц удовлетворяет соотношению

где A Rn×n и B Rm×m .

Свойство 6 (СВ.6). Ранг кронекеровского произведения квадратных матриц удовлетворяет условию

где A Rn×n и B Rm×m .

Для целей решения поставленной задачи полезно напомнить основные свойства кронекеровских матричных произведений произвольных матриц, которые оказываются необходимыми при преобразованиях матричных композиций, содержащих в своем составе эти произведения.

Свойство 7 (СВ.7).

В (17) – (20) матрицы P, Q, R, W, V имеют произвольные размерности, не противоречащие правилам перемножения и сложения матриц.

Свойство 9 (СВ.9).

В выражениях (21) – (24) IQ, IP и т.д. – единичные матрицы, по размерности согласованные с соответствующими матрицами Q, P и другими аналогичными.

234

Свойство 10 (СВ.10). Оператор сужения кронекеровского произведения векторов с матрицей сужения S удовлетворяет соотношению

Основной результат

Воспользуемся приведенными в предыдущем разделе свойствами векторных и матричных кронекеровских структур для целей построения динамической модели процессов в линейной многомерной непрерывной системе с модуляцией. При построении моделей процессов будем предполагать, что источник внешнего воздействия (ИВВ) является конечномерным и он представим автономной системой; будем предполагать, что модулирующий сигнал также является конечномерным и потому источник модулирующего сигнала (ИМС) также представим автономной системой. Таким образом полное априорное описание задачи приобретает вид

В модели (26) многомерной непрерывной системы Х – векторы состояния; v – вектор внешнего воздействия; Y – вектор выхода; X Rn ; v,Y Rm ; F, G, C - матрицы состояния входа и выхода соответственно; F Rn×n , CT , G Rn×m .

В модели (27) источника внешнего воздействия Z и g - вектора состояния и выхода ИВВ соответственно; Z Rl ; g Rm ; Γ, P - матрицы состояния и выхода;

Γ Rl×l ; P R m×l .

В модели (28) источника модулирующего сигнала ZM и gM - векторы состояния и выхода ИМС соответственно; Z M R K ; gM Rm ; ΓM , PM - матрицы состояния и выхода

ИМС; ΓM RK×K ; PM Rm×K .

Процесс формирования модулированного внешнего воздействия v(t) представим

Нетрудно видеть, что процесс модуляции внешнего воздействия в форме (29) допускает представление его в виде кронекеровского произведения векторов с последующим сужением, что может быть представлено в форме:

Если теперь учесть правила формирования g(t) и gM (t) представленных в (27) и

(28), то (30) в силу свойств кронекеровских произведений матриц может быть записано в форме

v(t) = S(g(t) gM (t)) = S(PZ(t) PM ZM (t)) = S(P PM )(Z(t) ZM (t)) (31)

Выражение (31) представляет модулированный сигнал v(t) как функцию состояния системы с вектором состояния Z(t) ZM (t) .

Сформируем динамическую систему, с вектором состояния Z(t) ZM (t) ,

опираясь на модели (27) и (28), описывающих процессы по компонентам введенного вектора являющегося кронекеровским произведением векторов, а также свойства матричных кронекеровских структур. В результате получим следующую цепочку равенств

235