Средняя и дисперсия слайд (2015)
.pdfДля окончательного расчета дисперсии сумму в последнем столбце необходимо разделить на сумму во втором столбце:
2 = 336,5/26 12,94.
Правило сложения дисперсий
Колеблемость значений вариационного ряда, как правило, обусловлена влиянием различных факторов или условий. Выявить долю вариации, определяемую теми или иными факторами, можно, расчленяя всю совокупность на группы по фактору, влияние которого исследуется.
Пусть вся совокупность вариантов ряда разбита на l групп. Для каждой группы можно вычислить средние, которые называются частными средними, и дисперсии, которые называются частными
дисперсиями или внутригрупповыми дисперсиями.
|
∑( − ̅ ) |
|
|
||
= |
|
|
|
, |
(11) |
∑ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
где суммирование и в числителе и в знаменателе дроби осуществляется по тем и только тем номерам вариантов, которые попали в j-ю группу, то есть от i=(n1+n2+...+nj- 1+1) до i=(n1+n2+...+nj), mi - частоты вариантов в j-ой
группе; хi - значения вариантов внутри j-той группы; |
x |
j |
- |
|
|||
|
|
средняя арифметическая j-той группы; Nj = mi - объем j- той группы, j = 1,2,...l , (l - число групп).
Пример. Вычислить частные (внутригрупповые) дисперсии числа продаж для данных примера 1, разделив вариационный ряд на две части: в первую группу включить продавцов с числом продаж, меньше или равное 15, а во вторую - продавцов с числом продаж свыше 15.
Решение. Вычислим дисперсии по формуле (8)
|
|
m |
i |
|
|
x m |
|
|
x |
2m |
i |
|
|
x |
|
|
m |
i |
|
|
x m |
|
|
x |
2m |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
i i |
|
|
i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
i i |
|
|
i |
|
||||
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
1 |
|
|
9 |
|
81 |
|
|
16 |
|
3 |
|
|
48 |
|
768 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
12 |
2 |
|
|
24 |
|
288 |
|
|
17 |
|
2 |
|
|
34 |
|
578 |
|
|||||||||
13 |
3 |
|
|
39 |
|
507 |
|
|
19 |
|
1 |
|
|
19 |
|
361 |
|
|||||||||
14 |
6 |
|
|
84 |
|
1176 |
|
21 |
|
1 |
|
|
21 |
|
441 |
|
||||||||||
15 |
5 |
|
|
75 |
|
1125 |
|
23 |
|
1 |
|
|
23 |
|
529 |
|
||||||||||
|
17 |
|
231 |
|
3177 |
|
27 |
|
1 |
|
|
27 |
|
729 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
972 |
|
3406 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
̅̅̅ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||
|
|
= |
|
− ̅= 3177 / 17 - (231 / 17) |
= 186,88 - 184, 64 = |
|||
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
||
2,24. |
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
̅̅̅ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
||
|
|
= |
|
− ̅= 3406 / 9 - (972 / 9) |
= 378,44 - 365,23 = 13,21. |
|||
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
||
Средняя из внутригрупповых (частных) дисперсий:
|
|
∑ |
2 |
|
|
̅2 |
= |
=1 |
|
|
(12) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где Nj (j = 1, 2,...,l) - объемы непересекающихся групп;
= ∑
Средняя из частных дисперсий служит для характеристики среднего рассеяния признака внутри групп.
Межгрупповая дисперсия измеряет колеблемость групповых средних вокруг общей средней. Межгрупповой
дисперсией 2 |
называется средняя арифметическая |
|||||
квадратов |
отклонений |
групповых |
средних |
x j всех |
||
непересекающихся групп от общей среднейx , то есть |
|
|||||
|
∑ (̅−̅) |
|
|
|
||
2 = |
=1 |
|
(13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Межгрупповая дисперсия измеряет вариацию, положенную в основу группировки.
Общая дисперсия складывается из дисперсий, имеющих место внутри частных групп, и дисперсии, между средними значениями этих групп.
Существует закон, связывающий три вида дисперсии:
Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсии.
= ̅ + |
(14) |
Общая |
Средняя |
Межгрупповая |
дисперсия = |
из частных + |
дисперсия |
|
дисперсий |
|
Пример. Вычислить общую дисперсию числа продаж, осуществленных 26 продавцами, применяя правило сложения дисперсий.
Решение. По формуле 14 имеем 2 = 6, 04 + 6,9 = 12,94,
что совпадает с результатом, полученным по формуле 7.