МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Утверждено

на заседании кафедры прикладной математики и вычислительной техники 20.05.2011 г.

Линейная алгебра (1 часть)

Методические указания для практических работ студентов

специальностей «Экономика предприятий и организаций, Финансы и кредит, Бухгалтерский учет, анализ и аудит, Налоги и налогообложения»

Ростов-на-Дону

2011

УДК 51(075.8)

Линейная алгебра (1 часть): методические указания для практических работ студентов специальностей «Экономика предприятий и организаций, Финансы и кредит, Бухгалтерский учет, анализ и аудит, Налоги и налогообложения»– Ростов н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2011. – 32 с.

Изложен краткий курс по линейной алгебре. Представлены типовые задачи и их решения. Приведены варианты заданий для самостоятельной работы. Предназначены для практических работ студентов как очной, так и заочной форм обучения специальностей «Экономика предприятий и организаций», «Финансы и кредит», «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Налоги и налогообложения», «Региональная экономика». Электронная версия методических указаний находится в библиотеке, ауд. 224.

УДК 51(075.8)

Составители:

к.ф.-м.н. Богачева М.Н.

к.ф.-м.н. Гробер О.В.

к.ф.-м.н. Гробер Т.А.

Редактор Н.Е. Гладких

Темплан 2011 г., поз.

Подписано в печать Формат . Бумага писчая. Ризограф.

Уч.-изд.л. 1,7. Тираж 100 экз. Заказ

Редакционно-издательский центр

Ростовского государственного строительного университета

344022, Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, 162.

 Ростовский государственный строительный университет, 2011

Часть 1. Линейная алгебра

1. Матрицы и определители

1. Основные понятия

Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащаястрок истолбцов

.

Каждый элемент матрицы имеет два индекса:– номер строки и– номер столбца. Например, в матрице

размера ,,,.

Часто используется краткая запись матрицы: . Матрица называетсяквадратной -го порядка, если она состоит изстрок истолбцов. Матрица размераназываетсяматрицей-строкой, а матрица размера матрицей-столбцом.

Нулевой матрицей О заданного размера называется матрица, все элементы которой равны 0.

Единичнойназывается квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны 1, а все остальные элементы равны 0:

.

Можно говорить о единичных матрицах любого порядка.

Транспонированной для матрицы называется матрица, строки которой являются столбцами матрицы, а столбцы – строками. Например, если

, то .

Матрицы иназываютсяравными, если ,,.

1.1.2. Линейные операции над матрицами

Суммой матриц иназывается матрица.

Другими словами, для сложения матриц надо сложить элементы матриц, стоящие на одних и тех же местах. Складываются матрицы только одинакового размера.

Произведениемматрицына числоназывается матрица.

Другими словами, для умножения матрицы на число надо каждый элемент матрицы умножить на это число. Любую матрицу можно умножить на любое число.

Для любых матриц одинакового размера и любых чисел ивыполняются свойства:

1) ;	4) ;
2) ;	5) ;
3) ;	6) .

Пример 1.Даны матрицыи. Найти матрицу.

Решение.



1.1.3. Умножение матриц

Матрицы умножаются по правилу «строка на столбец». Расшифруем, что имеется в виду.

Произведением матрицы на матрицуназывается матрицаразмерас элементами,,.

Другими словами, для получения элемента, стоящего в -той строке и-том столбце матрицы-произведения, следует вычислить сумму произведений элементов-той строки матрицына-тый столбец матрицы.

В самом определении произведения матриц заложено, что число столбцов первой матрицы должно совпадать с числом строк второй. Это условие согласования матриц при умножении. Если оно нарушено, то матрицы перемножить нельзя.

Пример 2. Найти произведение матриц и.

Решение. .

Заметим, что вполне возможна ситуация, когда существует, анет. Именно так происходит в примере 2. Кроме того, когда существуют оба произведения, то чаще всего они не равны, т.е., вообще говоря,. Приведем еще ряд свойств операции умножения матриц. Еслии- квадратные матрицы одного порядка, то справедливы равенства:

1) ;	3) ;
2) ;	4) .

1.1.4.Определители

Понятие определителя вводится только для квадратных матриц. Рассмотрим квадратную матрицу 2^го порядка: .

Определителем 2^го порядка матрицы называется число:

.

Пример 3. Вычислить определитель матрицы .

Решение. 

Пусть – матрица 3^го порядка.

Минором элемента называется определитель, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания из матрицы-той строки и-того столбца.

Алгебраическим дополнением элемента называется число

.

Определителем 3^го порядка (матрицы ) называется сумма произведений элементов первой строки матрицы на их алгебраические дополнения.

.

Пример 3. Вычислить определитель матрицы .

Решение. Находим миноры и алгебраические дополнения элементов 1-ой строки матрицы:

;

;

.

Вычисляем исходный определитель

В дальнейшем при вычислении определителей мы будем пользоваться более короткой записью:



Далее индуктивно вводится понятие определителей более высоких порядков.

Определителем -го порядка называется сумма произведений элементов 1-ой строки на их алгебраические дополнения.