Теорема ( Коши).

Если функции инепрерывны наи дифференцируемы на, ив, то существует точкатакая, что

Доказательство. Отметим, что , так как в противном случае, по теореме Ролля, нашлась бы точкатакая, что, чего быть не может по условию теоремы. Составим вспомогательную функцию

В силу условия теоремы эта функция непрерывна на, дифференцируема наи,. Применяя теорему Ролля, получим , что существует точка, в которой. Но

Поэтому, подставляя вместо точку, получим утверждение теоремы.

Теорема 13 (Лагранжа).

Пусть функциянепрерывна на отрезкеи имеет производную на интервале. Тогда существует на интервалеточка, для которой выполняется равенство

Доказательство. Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл, если ее записать в виде

То есть теорема Лагранжа утверждает, что на графике всегда найдется точка , что касательная к ней параллельна хорде, стягивающей концы кривой.

Правило Лопиталя.

Пусть иопределены и дифференцируемы в окрестности точки, за исключением, быть может, самой точки,,ив этой окрестности. Тогда, если существует, то существуети имеет место равенство

Доказательство. Будем считать, что конечное число. Доопределим функцииив точке, полагая. Тогда эти функции непрерывны в точке. Рассмотрим отрезок, где, или. Нафункцииинепрерывны, а надифференцируемы, поэтому по теореме Коши существует точкатакая, что

Когда , то и, поэтому, в силу условия теоремы имеем

при условии, что предел в правой части равенства существует.

Этим теорема доказана.

Если выражение снова представляет собой неопределенность, то можно

Это относится и к неопределенности типа .

14. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций. Локальный экстремум функции

Необходимое и достаточное условие постоянства функции выражается равенством, т.е.

Если в данном промежутке производная функции положительна, то функция возрастает в этом промежутке; если производная отрицательна, то функция убывает в соответствующем промежутке.

Функция достигает в точкелокального максимума (минимума), если можно указать такое, что ее приращениев точкеудовлетворяет неравенству

(соответственно ).

По теореме Ферма, если функция достигает в точкелокального экстремума и в этой точке производная существует, то она равна нулю

По определению такая точка называется стационарной. Это условие является необходимым для того, чтобы дифференцируемая функция имела локальный экстремум, но не достаточным.

Достаточные критерии локального экстремума.

Теорема. Пусть - стационарная точка функции(т.е.) иимеет вторую непрерывную производную в окрестности. Тогда:

если , тоесть точка локального максимума;

если , тоесть точка локального минимума.

Теорема. Пусть ии непрерывна в окрестности точки, тогда:

если - четное и, тоимеет влокальный максимум;

если - четное и, тоимеет влокальный минимум;

если - нечетное и, тозаведомо не имеет влокального экстремума.

Кроме того. Если первая производная функции при переходе через точкуменяет знак, тоимеет в точкеминимум, если знак меняется (при возрастании) с «-» на «+», и максимум, если знак меняется с «+» на «-».

Вогнутость, выпуклость, точки перегиба.

Криваяобращена в точкевыпуклостью вверх (вниз), если существует окрестностьтакая, что для всех точек этой окрестности касательная к кривой в точкерасположена выше (ниже) самой кривой (см. рис.).

Точка есть точка перегиба кривой, если при переходечерезточка кривой переходит с одной стороны касательной на другую.

Теорема. Если функция имеет в точкевторую непрерывную производную и(), то криваяобращена ввыпуклостью книзу (кверху).

Доказательство вытекает из понятия локального максимума, минимума.

Если функция такова, что производнаянепрерывна в, аи, то криваяимеет вточку перегиба.

Асимптоты графика функции.

Прямаяназывается вертикальной асимптотой, если(см. рис.).

Прямая называется наклонной асимптотой непрерывной функции, если.

Линия называется асимптотической кривой для, если.

Пример. Построить график функции . Составим таблицу

	возрастает асимптота		убывает	вертикальная асимптота	убывает		возрастает асимптота
	выпукла кверху		выпукла кверху		выпукла книзу		выпукла книзу

График имеет вид.

FVB