Обратная функция

Итак, каждому по определенному закону ставится в соответствие единственное значение. С другой стороны, каждомусоответствует одно, или несколько значений.

В случае, когда каждому по некоторому законусоответствует только одно значение, получаем функцию

заданную на множестве со значениями во множестве. Эту функциюназывают обратной функцией, по отношению к функции. Эти функции называются взаимно обратными. Для них выполняются тождества

Например. .

Некоторые свойства функций

1. Функция называется четной, если

.

2. Функция называется нечетной, если

.

3. Функция называется периодической еслии(существует такое число "М" больше нуля, что для любого "х" принадлежащего множеству "А" выполняется равенство).

4. Функция возрастает, если.

5. Функция неубывающая, если.

6. Функция убывает, если.

7. Функция невозрастающая, если.

8. Функция ограничена сверху на множестве, если.

9. Функция ограничена снизу на множестве, если.

Определение. Функция – ограничена, если она ограничена сверху и снизу.

Основные элементарные функции

Элементарные функциями называют все функции, которые можно получить из основных элементарных с помощью алгебраических действий и образования сложных функций.

3. Предел числовой последовательности

Пусть каждому натуральному числу по некоторому закону поставлено в соответствие действительное или комплексное число. Тогда этим задана последовательность

Отдельные числа последовательностиназываются ееэлементами.

Надо иметь ввиду, что иприсчитаются отличными как элементы последовательности, хотя не исключено, что как числа они равны между собой.

Определение. Число называется пределом последовательности, если для всякогонайдется (зависящее от) числотакое, что выполняется неравенство

для всех (натуральных) .

В этом случае пишут

и говорят, что переменная или последовательность имеет предел, равный числу , или стремится к . Говорят также, что переменная или последовательность сходится к числу .

Геометрический смысл предела

Определение предела имеет следующий геометрический смысл: числоявляется пределом последовательности , если в любой его - окрестности содержатся почти все члены , или вне этой окрестности находится лишь конечное число членов данной последовательности.

Пример 1. Дана последовательность . Предел этой последовательности, т.е.. Действительно, зададим произвольное числои решим неравенство

Этим для всякого найдено число такое, что неравенство выполняется для всех .

Пример 2. Дана последовательность . Предел этой последовательности, т.е.. В самом деле, составим неравенство. Оно, как мы видели, выполняется для любого, если .

4. Предел функции.

Число называется пределом функциив точке, если она определена на некоторой окрестности, т.е. на некотором интервале, где, за исключением, быть может, самой точки, и если для всякогоможно указать зависящее от неготакое, что для всех, для которых, имеет место неравенство

.

Тот факт, что есть пределв точке, записывают следующим образом

Выражение предел функции в точке часто заменяют выражениемпредел функции при , стремящемся к, или, короче,предел функции при .

По аналогии вводят следующее определение.

Число есть предел функциипри, стремящемся к бесконечности, еслиопределена для всех, удовлетворяющих неравенствупри некотором, и для любогоможно найти числотакое, чтодля всех, удовлетворяющих неравенству.

Многие свойства пределов при, где- конечное число, и приявляются аналогичными. Для этого под буквойлибо число (конечное), либо символ. Еслиесть число, то под окрестностью точкипонимается любой интервал, содержащий в себе точку. Таким образом, окрестность (конечной) точкиесть множество всех точек, удовлетворяющих неравенствам. Если же(илиили), то под окрестностьюусловимся понимать множество всех, удовлетворяющих неравенству

Произвольную окрестность точки обозначают символом.