Вольников / КНИГИ / Дудников / Book часть 2

Название фильтра обусловлено тем, что импульсная характеристика апериодического звена описывается экспоненциальной функцией.

циальный фильтр представляет собой апериодическое звено и описывается дифференциальным уравнением

где у и &ф — параметры настройки фильтра. Уравнению (3.28) соответствует АФХ

где Гф=1./7 — постоянная времени фильтра.

Из условия (3.22) для статического режима определяют оп­тимальное значение параметра k& (коэффициента усиления):

Определение оптимального значения параметра у произво­дится из условия (3.23), для чего предварительно рассчитывают спектральную плотность погрешности экспоненциального филь­тра по формуле (3.25) с учетом (3.29) и (3.30):

Дисперсия погрешности экспоненциального фильтра, согласно (3.24) —(3.25) с учетом (3.29), равна

При вычислении этого интеграла оба слагаемых подынтеграль­ного выражения раскладывают на простые дроби, каждая из которых сводится к табличному интегралу вида

После выполнения соответствующих преобразований полу­чают следующее выражение для дисперсии погрешности филь­трации:

■Оптимальное значение параметра настройки у получают из не­обходимого условия экстремума функции Aj>(y)^:

откуда

Таким образом, функция О_ф(у) имеет единственную точку стационарности, тип которой зависит от знака второй произ­водной при v=Y°- Можно показать, что при выполнении условия

особая точка является минимумом функции Aj>(y)> а при выпол­нении условия km<C\ в точке y=Y° функция D&(y) достигает максимума. Таким образом, если сочетание характеристик по­лезного сигнала и помехи соответствует случаю (3.32а),то опти­мальное значение параметра настройки определяется по форму­ле (3.32). Если это условие не выполняется, то оптимальным является наибольшее допустимое значение параметра у.

При программной реализации экспоненциального фильтра дифференциальное уравнение (3.28) заменяют разностным урав­нением вида

где / — номер цикла расчета.

Отсюда получают следующее рекуррентное соотношение для вычисления сглаженного значения г/ф(/) в очередном /-том цикле

ПЯГЦЙТЯ¹

К достоинствам алгоритма экспоненциальной фильтрации отно­сятся малая трудоемкость расчетов и малый объем памяти УВМ, в которой должна храниться величина у и обновляемая в каждом цикле расчета величина г/ф(/—1).

Фильтр скользящего среднего в аналоговом варианте реализует вычисление среднего значения функции g(t)

на интервале времени от t—Гф до t (рис. 3.9,6):

где Гф — параметр настройки фильтра (время усреднения).

Преобразуем правую часть выражения (3.34), представив

РГП R RH7ie^%

Отсюда видно, что фильтр скользящего среднего представляет собой параллельное соединение двух интегрирующих звеньев, одно из которых последовательно соединено со звеном запазды­вания (рис. 3.9а). Поэтому амплитудно-фазовая характеристи­ка фильтра описывается выражением

которое аналогично по структуре выражению (3.12) и может быть преобразовано к виду

Решая совместно (3.24) — (3.27) и (3.35), можно получить выражение для дисперсии погрешности А}> фильтра скользяще­го среднего и определить оптимальное значение Г°ф параметра настройки из необходимого условия минимума функции />ф(Г_ф). Получаемое при этом выражение очень громоздко, неудобно для практического использования. На его основе рассчитаны номо­граммы [24], по которым для заданных значений а, т, k можно определить 7"^о_ф.

При программной реализации фильтра скользящего средне­го расчет сглаженного значения #ф(/) в очередном /-том цикле проводится по формуле

А7

где N=T<blh — параметр настройки фильтра.

Для расчета по формуле (3.36) требуется хранить в памяти УВМ (N-\-l) значение функции g(jt₀).

Статистические фильтры. Статистическими называют фильтры, которые в аналоговом варианте представляют собой параллель­ное соединение (я+1) цепочек, состоящих из усилительного зве-

на и звена чистого запаздывания. Передаточная функция такого фильтра

Статистический фильтр нулевого порядка. Это простейший среди фильтров данной группы. Его передаточная функция по­лучается из формулы (3.37) при N=0, т. е. это просто усили­тельное звено, выходной сигнал которого

При непосредственном использовании формулы (3.38) сглажен­ная функция г/о (t) будет являться смещенной оценкой полезного сигнала у (t), т. е. ее математическое ожидание не будет равно m_g. Действительно, усредняя левую и правую части (3.38) с уче­том (3.3) и т_е = 0, получим:

Для получения несмещенной оценки к правой части (3.38) необ­ходимо прибавить постоянный член а, удовлетворяющий условию

откуда

Таким образом, формула (4.38) приобретает вид

где 6о — параметр настройки фильтра.

Погрешность! фильтрации, согласно (3.22) и (3.39) с учетом (3.3), равна

о

где y(t)=y(t) —tn(y) —центрированная функция y(t).

Возводя левую и правую части формулы (3.40) в квадрат и усредняя, получим следующее выражение для среднего квадра­та погрешности фильтрации:

Оптимальное значение параметра настройки Ь_о, полученное из необходимого условия минимума функции Б_ф (Ь_о), равно

Ему соответствует минимальная среднеквадратичная погреш­ность гЬи.ттьтпягтии-

Как видно из (3.42), статистический фильтр нулевого порядка

при оптимальной настройке снижает случайную погрешность сигнала измерительной информации в (1+&) раз.

При программной реализации статистического фильтра ну­левого порядка расчёт сглаженных значений производится по формуле:

Статистический фильтр первого порядка. Его передаточную функцию получают из (3.37) при JV = 1:

Во временной области уравнение этого фильтра имеет сле­дующий вид:

Усредняя левую и правую части этого выражения и учиты­вая (3.3), получим: М[у_ф(1)]= (b_o-\-bi)m_y.

Для выполнения условия несмещенности оценки y$(t), т. е. условия M[y<t,(t)] — m_y, коэффициенты Ь_о и Ь_и очевидно, должны удовлетворять соотношению Ь\ = \—Ь_о, с учетом которого форму­ла (3.43) приводится к виду:

где Ьо и х — параметры настройки статистического фильтра первого порядка.

Погрешность фильтрации e$(t), согласно (3.3), (3.21) и (3.44), равна

а дисперсия погрешности

Оптимальное значение параметра настройки Ьо получаем из ус-

^ловия _-*г^=0;

В большинстве случаев статистические фильтры реализуют­ся программно, поэтому второй параметр настройки т совпадает с периодом /о квантования по времени функции g(t).

Сравнительный анализ фильтров по совокупности показате­лей (точности, трудоемкости, потребному объему памяти УВМ и др.) показал [24], что для аналогового варианта целесообраз­но использовать экспоненциальный фильтр, а для программной реализации — экспоненциальный или статистический фильтр первого порядка.

3.4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГРАДУИРОВКА ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ И КОРРЕКЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

В метрологии градуировкой называют операцию, с помощью которой делениям шкалы измерительного прибора придают оп­ределенные численные значения, выраженные в единицах изме­рения определяемой величины [27]. Аналогичный смысл вкла­дывают в понятие аналитической градуировки ИП: это опера­ция определения (восстановления) значения х измеряемой вели­чины по сигналу у измерительной информации на выходе ИГГ (см. рис. 3.1). Операцию аналитической градуировки выполняют с использованием градуировочной характеристики ИП, пред­ставляющей собой функцию, обратную его номинальной статиче­ской характеристике (3.2):

где к^т — значение измеряемой величины, соответствующее по градуировоч­ной характеристике ИП значению у сигнала измерительной информации.

Градуировочная характеристика или номинальная статиче­ская характеристика приводится в паспорте ИП в виде аналити­ческой функции или таблицы соответствия значений х^т; и у,-.

Рассмотрим несколько примеров ИП, для которых известно аналитиче­ское выражение характеристики /₀ или /о"¹. Гидростатический уровнемер жидкости преобразует значение измеряемого уровня L в перепад давлений ДР между точками отбора импульсов (в самой нижней _ точке аппарата и над уровнем жидкости):

где р — плотность жидкости, кг/м³; L — уровень жидкости, м; &i—масштаб­ный коэффициент, зависящий от выбора единиц измерения величины ДР (например, если АР выражено в МПа, то £i = 10-⁵).

Перепад ДР линейно преобразуется дифманометром в стандартный электрический сигнал у (например, 0—10 В на весь диапазон измерения). Таким образом, статическая характеристика данного ИП описывается урав­нением

где kz=y*l&P* — коэффициент усиления дифманометра; у*—значение вы­ходного сигнала дифманометра, соответствующее верхнему пределу измере­ния ДР* (для упрощения выкладок предполагается, что нижним пределом измерений является нуль).

Ей соответствует градуировочная характеристика:

Номинальную статическую характеристику получают из (3.49) при номи­нальном значении плотности p=po=const:

Для комплекта рН-метра, состоящего из чувствительного элемента и преобразователя э. д. с. чувствительного элемента в стандартный электри­ческий сигнал, статическая характеристика описывается уравнением [2]

тде £_и, рН_и, So и а — константы, значения которых зависят от типа элект­родов чувствительного элемента; 9 — температура анализируемого раствора, "С; й₃=</*/рН*—коэффициент усиления комплекта рН-метра; у*—значение выходного сигнала преобразователя, соответствующее верхнему пределу из­мерения рН*.

Ей соответствует градуировочная характеристика

Номинальная статическая характеристика расходомера переменного пе­репада давления описывается следующей нелинейной функцией:

Номинальную статическую характеристику рН-метра получают из (3.51) при номинальном значении температуры 9₀=20°С:

где у — стандартный выходной сигнал дифманометра (который рассматри­вается как линейный преобразователь перепада давления на сужающем устройстве в выходной сигнал у); k — коэффициент, зависящий от условий измерения; Q — измеряемая величина, т. е. объемный расход потока через сечение трубопровода.

Ей соответствует градуировочная характеристика

где ko —■ градуировочное значение коэффициента k.

Если градуировочная характеристика ИП задана аналити­чески, то операция аналитической градуировки сводится к вы­полнению расчета по формуле (3.47).

коэффициенты a_v которого определяют по методу наименьших квадратов, т. е. из условия

Для многих ИП с нелинейной градуировочной характеристи­кой последнюю определяют экспериментально и вносят в пас­портные данные в виде графика или таблицы соответствия зна­чений х^т и г//. В частности, в виде таблицы задают градуировоч-ные характеристики наиболее массовых ИП, применяемых в АСУТП химических производств — термопреобразователей со­противления (ТС) и термоэлектрических преобразователей тем­пературы (ТПТ). При табличном представлении градуировоч­ной характеристики применяют способ аналитической градуи­ровки, заключающийся в аппроксимации табулированной градуи­ровочной характеристики аналитическим выражением, которое в дальнейшем используют для вычисления значений х^г. Чаще всего в качестве аппроксимирующей функции используют мно­гочлен m-й степени:

Например, слабо нелинейные градуировочные характеристики ТС и ТПГ с достаточно высокой точностью аппроксимируются полиномами не выше третьей степени. В частности, градуировочная характеристика хромель-копе-левого ТПТ в диапазоне температур 0—600 ^СС аппроксимируется следую­щим полиномом второй степени [45]:

где х^с — значение температуры, °С; у — э. д. с. ТПТ, мВ. Максимальная от­носительная погрешность аппроксимации табличных данных не превыша­ет 0,5%.

Вычисления по формуле (3.53) целесообразно выполнять по так называемой схеме Горнера:

Блок-схема алгоритма, реализующего вычисление по схеме Горнера, представлена на рис. 3.10.

Операция аналитической градуировки ИП позволяет опреде­лить действительное значение х измеряемой величины по сигна­лу у измерительной информации только в том случае, если х преобразовано в у в соответствии с номинальной статической характеристикой ИП (3.2), т. е. при выполнении условия

Действительно, в этом случае

Однако в производственных условиях невозможно стабилизиро­вать значения всех влияющих величин на номинальном уровне, что приводит к нарушению условия (3.54). При этом

где Д£—■ вектор отклонений влияющих величин от номинальных значений.

Возникает так называемая дополнительная погрешность измере­ния, которая, очевидно, равна:

Если известна полная статическая характеристика ИП (3.1) и вектор Az, можно рассчитать погрешность Ах^г и внести соответ­ствующую поправку к расчетному значению х^г, полученному по градуировочной характеристике.

Истинное значение х при нарушении условия (3.54) находят при расчете по функции, обратной полной статической характе­ристике ИП:

Его можно найти, умножая значение х^т, полученное по форму­ле (3.47), на некоторый поправочный коэффициент k_n:

Откуда с учетом (3.56) и (3.47) получим:

В качестве примера найдем выражение для расчета поправочного коэф­фициента для гидростатического уровнемера. Статическую характеристику (3.49) гидростатического уровнемера преобразуем так, чтобы сделать явной ее зависимость от температуры жидкости, которая является главной влияю­щей величиной. Для этого заменим плотность р соотношением, описываю­щим ее зависимость от температуры 6 при небольших отклонениях от номи­нального значения 6о:

где р — температурный коэффициент объемного расширения жидкости. По­сле подстановки (3.59) в (3.49) получим полную статическую характери­стику в виде

Обратная ей функция:

Поправочный коэффициент найдем, согласно (3.58), делением этого выра­жения на градуировочную характеристику (3.50):

Особенно часто в АСУТП корректируют результаты измере­ния расходов, поскольку обычно их используют для расчета

Рис. 3.10. Блок-схема алгоритма вычис лення полинома по схеме Горнера

fexHHKO-экономических показателен производства. В подавляющем боль­шинстве случаев расход газов, пара и жидкости, транспортируемых пс трубопроводам, измеряют с по­мощью расходомеров переменногс перепада давления [27]. При ис пользовании стандартных сужаю­щих устройств расходомеры этогс типа градуируют расчетным путем т. е. для определенных номинальны? условий измерения (температура давление и т. д.) рассчитывают гра дуировочную характеристику расхо домера. Коррекцию измеренных зна чений расхода производят при от клонении условий измерения от но минальных, а также с целью приве дения результатов к единым услови

ям (обычно температура 20 °С, давление 10⁵ Па), чтобы сделать их сопоставимыми.

. Для коррекции применяют общие соотношения (3.57) и (3.58). Формулы для расчета поправочных коэффициентов для разных возможных на практике случаев измерения расхода по­лучают подстановкой в (3.58) выражения (3.52), конкретизиро­ванного для каждого случая.

Для примера рассмотрим коррекцию результатов измерения массового расхода насыщенного пара на изменение давления в трубопроводе. В этом случае функция, обратная полной статической характеристике расходомера, описывается выражением [27].

где k — коэффициент, практически не зависящий от давления; р — плот­ность измеряемой среды.

Таким образом, £п=Ур/ро- В частности, для диапазона давлений 0,25— 0,85 МПа зависимость р от давления насыщенного пара аппроксимируется полиномом второй степени [45]:

Для насыщенного пара плотность зависит от давления, поэтому попра­вочный коэффициент получаем делением выражения (3.60) на градуировоч-ную характеристику (3.52), которую запишем в виде:

Задав номинальное значение Яо, можно по этой формуле рассчитать ро, а затем в процессе измерения рассчитывать фактическую плотность, соответ­ствующую текущему значению Р, и вносить поправку на изменение условий.

3.5. КОНТРОЛЬ И ПОВЫШЕНИЕ ДОСТОВЕРНОСТИ ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Исходная информация о текущем состоянии объекта управле­ния поступает в УВМ по многим десяткам, а иногда и сотням ИИК. С увеличением их числа возрастает риск попадания в сис­тему недостоверной информации, поэтому одной из важнейших функций первичной обработки информации в АСУТП является контроль ее достоверности.

Недостоверная исходная информация появляется при отказах ИИК, которые делятся на полные и частичные (метрологичес­кие). Полный отказ наступает при выходе из строя ИП или по­вреждении линии связи ИП с УВМ. При частичном отказе тех­нические средства сохраняют работоспособность, однако по­грешность измерения соответствующего параметра превышает допустимое значение.

Обнаружение полных отказов ИИК является гораздо более простой задачей, чем выявление частичных отказов. Поэтому сначала рассмотрим алгоритмы контроля достоверности исход­ной информации, позволяющие обнаружить только полный от­каз ИИК. При этом недостоверное значение параметра должно быть заменено достоверной оценкой, в качестве которой может

Рис. 3.11. Блок-схема алгоритма допус-кового контроля достоверности исходной информации

быть использовано предыдущее достоверное значение этого пара­метра или его значение, усред­ненное за некоторый интервал времени, предшествующий мо­менту обнаружения отказа ИИК. Последний способ применяют для наиболее ответственных парамет­ров, например, расходов, значе­ния которых используют при рас­чете ТЭП.

Алгоритм допускового контроля параметра. Он основан на том, что при работе объекта значения

каждого из контролируемых технологических параметров дс,- не могут выходить за определенные границы:

Соответственно при исправном ИИК должен быть ограничен и сигнал измерительной информации г/,, поступающий в УВМ по этому каналу:

Контроль достоверности по этому алгоритму заключается в про­верке выполнения условия (3.61) для каждого значения сигна­ла измерительной информации, поступившего при очередном опросе ИИК. Блок-схема алгоритма представлена на рис. 3.11. Он работает следующим образом.

После инициации работы алгоритма (блок /) и ввода исход­ных данных (блок 2) организуется цикл проверки ИИК, каждо­му из которых присвоен свой номер г (блок 3); в блоке 4 прове­ряется условие (3.61), при выполнении которого проверяется ус­ловие окончания работы алгоритма (блок 5). Выполнение усло­вия г = п (где п — число контролируемых ИИК) останавливает работу алгоритма. Если это условие не выполняется, счетчик но­мера ИИК увеличивается на 1 (блок 8), и цикл повторяется. Если при проверке в блоке 4 условие (3.61) не выполняется, то в блоке 6 недостоверное значение y_r (jt₀) заменяется достовер­ным значением yj[(j—1)^₀] того же сигнала, полученным в пре­дыдущем цикле опроса ИИК. Затем на печать выводится сооб­щение о том, что обнаружен отказ t-того ИИК (блок 7), и рабо­ту алгоритма продолжает блок 5.

Этот алгоритм применим не только для стационарных про­цессов, но и для нестационарных, например периодических. В этом случае граничные значения у,* и у,* в условии (3.61) являются не константами, а функциями времени, отсчитываемо­го от начала процесса. Алгоритм допускового контроля скорости изменения сигнала

измерительной информации основан на том, что скорость изме­нения любого технологического параметра х_г ограничена усло­вием

где о)с—частота среза функции x_r(t)\ x, — среднее значение этой функции.

Соответственно должна быть ограничена и скорость измене­ния сигнала измерительной информации y_r(t)

Контроль достоверности по данному алгоритму заключается в проверке выполнения условия (3.63), причем оценку производ­ной dyijdt рассчитывают по формуле

Контроль достоверности исходной информации по условиям (3.61) и (3.63) часто совмещается. Тогда в блок-схему алгорит­ма на рис. 3.11 между блоками 4 и 5 вводится еще один блок, осуществляющий проверку выполнения условия (3.63). При на­рушении этого условия инициируется блок 6.

Алгоритмы контроля достоверности исходной информации, е помощью которых выявляются частичные отказы ИИК, основаны на использовании информационной избыточности, которая всег­да имеется в АСУТП. Избыточность прежде всего может быть создана искусственно при проектировании АСУТП за счет ап-' паратурной избыточности, например резервирования ИИК для контроля наиболее важных технологических параметров.

Другой вид информационной избыточности в АСУТП обусг ловлен тем, что информация о действительном значении некото­рого технологического параметра содержится не только в изме­ренном значении этого параметра, но и в измеренных значениях других параметров, связанных с ним устойчивыми зависимостя­ми, например, уравнениями материального баланса.

При разработке алгоритмов контроля достоверности исход­ной информации на основе информационной избыточности при­нимают следующие допущения: