Моделирование тенденции временного ряда

Наиболее распространенным способом моделирования тенденции временного ряда является аналитическое выравнивание – это построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, т.е. построение тренда.

Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:

• линейный тренд ;

• экспоненциальный тренд ;

• гипербола ;

• тренд в форме степенной функции .

Построение таких функций ничем не отличается от построения уравнений парной регрессии (линейной или нелинейной) с учетом того, что в качестве зависимой переменной используются фактические уровни временного ряда yt, а в качестве независимой переменной – моменты времени t = 1,2, ..., n. Для построения тренда необходимо выбрать вид аналитической зависимости и затем оценить значения ее параметров методом наименьших квадратов (МНК).

Для определения вида тенденции применяются такие методы, как:

– качественный анализ изучаемого процесса;

– построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени;

– расчет и анализ показателей динамики временного ряда (абсолютные приросты, темпы роста и др.);

– метод перебора, при котором строятся тренды различного вида с последующим выбором наилучшего на основании значения скорректированного коэффициента детерминации.

Выбор вида тенденции на основе качественного анализа. Социально-экономические процессы в зависимости от характера их протекания можно разделить на три класса (рис.2):

Рис. 2. Схемы протекания процессов

I) Процессы с монотонным характером развития и отсутствием пределов роста (рис. 2, а). Эти условия справедливы для поведения многих экономических показателей, например, для большинства натуральных показателей промышленного производства. В этом случае для моделирования тенденции могут использоваться: линейная, параболическая, экспоненциальная, степенная функции.

II) Процессы, которые имеют предел роста (падения) в исследуемом периоде, так называемые процессы с «насыщением» (рис. 2, б). Развитие процесса происходит под влиянием некоторых ограничивающих факторов, величина воздействия которых растет вместе с ростом достигнутого уровня.

С такими процессами часто сталкиваются в демографии, при изучении потребностей в товарах и услугах (в расчете на душу населения), при исследовании эффективности использования ресурсов и т. д. Примерами показателей, для которых могут быть указаны пределы роста, являются среднедушевое потребление определенных продуктов питания, расход удобрений на единицу площади и т. п.

В этом случае для моделирования тенденции используются гиперболическая функция, либо модифицированная экспонента с параметромb, удовлетворяющим условию 0 < b < 1.

В случае гиперболы параметр a0 равен пределу роста, к которому значение уровня процесса приближается (при росте t) снизу в случае b < 0, либо сверху при b > 0 (рис. 2 б).

В случае модифицированной экспоненты параметр K равен пределу роста, к которому значение уровня процесса приближается (при росте t) снизу в случае a0 < 0, либо сверху при a0 > 0 (рис. 2, б).

При решении экономических задач часто можно определить значение предела роста исходя из свойств прогнозируемого процесса (например, коэффициент использования оборудования не может превышать 1 и т. п.). Иногда значение предела роста задается экспертным путем.

III) S-образные процессы (рис. 2, в), представляющие как бы два последовательных лавинообразных процесса (когда прирост зависит от уже достигнутого уровня): один с ускорением развития, а другой – с замедлением.

С такими процессами часто сталкиваются в демографических исследованиях, в страховых расчетах, при решении задач прогнозирования научно-технического прогресса, при определении спроса на новый вид продукции. К S-образным процессам можно отнести процесс развитие новой отрасли (нового производства). Вначале производство развивается очень медленно вследствие того, что технические методы производства еще недостаточно разработаны, издержки производства высоки и спрос на рынке на данный товар еще очень мал, поэтому производство развивается медленно. В дальнейшем, благодаря усовершенствованию технических методов изготовления, переходу к массовому производству и увеличению емкости рынка для данного товара производство растет быстрее. Затем наступает период насыщения рынка, рост производства все более замедляется, и, наконец, почти прекращается. Наступает стабилизация производства на определенном уровне. Следует отметить, что выявленные закономерности развития следует обобщать с определенной осторожностью и, причем, только для достаточно коротких периодов, так как выявленная тенденция развития производства может быть нарушена вследствие внешних факторов, например, технического переворота в данной отрасли или связанных с нею.

Для моделирования тенденции S-образных процессов следует использовать логистическую функцию с параметромb<1. Предел роста равен параметру К.

Выбор вида тенденции на основе анализа показателей динамики временного ряда. Исследуя последовательные разности уровней ряда первого, второго и следующих порядков можно сделать вывод о наличии тенденции, описываемой полиномиальной функцией от времени t:

–последовательные разности первого порядка,

–последовательные разности второго порядка и т. д.

- Если исходный временной ряд содержит тенденцию, а временной ряд последовательных разностей первого порядка не содержит тенденцию, то можно сделать вывод, что тенденция линейно зависит от времени: .

- Если исходный временной ряд и временной ряд последовательных разностей первого порядка содержат тенденцию, а временной ряд последовательных разностей второго порядка не содержит тенденцию, то можно сделать вывод, что тенденция задается полиномом второго порядка от времени: .

Исследуя отношения последовательных уровней ряда (цепные темпы роста) , можно сделать вывод о наличии тенденции, задаваемойэкспоненциальной функцией от времени. Если исходный временной ряд содержит тенденцию, а временной ряд темпов роста не содержит тенденцию, то можно сделать вывод, что тенденция экспоненциально зависит от времени. Иными словами, тенденция имеет вид экспоненциальной функции: .

Аналогичный результат можно получить, анализируя первые последовательные разности временного ряда, составленного из логарифмов от исходных уровней. Если наблюдается линейная зависимость между логарифмами уровней ряда ln yt и соответствующих промежутков времени ln t, то рекомендуется использовать степенную функцию: .