На любой плоскости можно провести бесконечное множество главных линий. Главные линии всех направлений образуют плоские пучки параллельных прямых, т. е. все горизонтали плоскости параллельны между собой, все фронтали плоскости параллельны между собой и т. д.

Рис. 30. Определение углов наклона плоскости к плоскостям проекций

4.6. Относительное расположение плоскостей

Плоскости относительно друг друга могут быть параллельны и пересекаться.

Плоскости параллельны. Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (рис. 31).

Рис. 31. Параллельные плоскости

43

У параллельных плоскостей главные линии (горизонтали, фронтали, профильные прямые и линии наибольшего ската) также параллельны. Одноименные следы параллельных плоскостей будут также параллельны.

Плоскости пересекаются. Линией пересечения двух плоскостей является прямая. Для построения этой прямой достаточно определить две точки, общие обеим плоскостям.

Рассмотрим примеры.

1. Плоскость общего положения пересекается с плоскостью частного положения (рис. 32). Плоскость α (□DEFK) — горизонталь- но-проецирующая плоскость, горизонтальная проекция которой обладает собирательным свойством. Плоскость β (∆АВС) — плоскость общего положения. Горизонтальная проекция a1 линии пересечения плоскостей α (□DEFK) и β (∆АВС) определяется без дополнительных построений. Фронтальная проекция a2 линии пересечения плоскостей определяется исходя из принадлежности прямой a плоскости β (∆АВС). Видимость плоскостей определяется методом конкурирующих точек.

Рис. 32. Пересечениеплоскостейобщегои частного положения

2. Плоскость общего положения пересекается с плоскостью общего положения (рис. 33). Для построения линии пересечения двух плоскостей общего положения применяют метод посредника:

1) последовательно вводят плоскости-посредники частного положения, например горизонтальные уровня, γ и ε;

2)выстраивают линии пересечения α (a b) и γ, а также β (c ∩ d)

иγ, и затем линии пересечения α (a b) и ε, а также β (c ∩ d) и ε;

44

3)при пересечении одноименных проекций линий пересечения плоскостей определяют точки пересечения K и L, общие для плоскостей α (a b) и β (c ∩ d);

4)соединив одноименные проекции точек K и L, получают проек-

ции линии пересечения плоскостей α (a b) и β (c ∩ d).

Рис. 33. Пересечение плоскостей общего положения

Для построения линии пересечения плоскостей α и β, заданных следами, отмечают точки пересечения одноименных следов плоскостей, через которые пройдет искомая прямая линия (рис. 34).

Точки M и N — горизонтальный и фронтальный следы линии пересечения l плоскостей α и β.

Рис. 34. Пересечениеплоскостейобщегоположения, заданныхследами

Перпендикулярность плоскостей. Частным случаем пересечения плоскостей является их перпендикулярность.

Плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них, например, плоскость β (а ∩ b), проходит через перпендикуляр к другой плоскости (см. рис. 37, а). Любая плоскость, проходящая через прямую c, будет перпендикулярна плоскости α, так как прямая c является перпендикуляром к плоскости α (см. рис. 37, б).

45

4.7. Относительное расположение прямой и плоскости

Прямаяотносительноплоскостиможетзаниматьразличныеположения:

1)прямая принадлежит плоскости (рассмотрено выше);

2)прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой пря-

мой, принадлежащей этой плоскости: a |AC| α(∆АВС) a α(∆АВС) (рис. 35). Совокупность таких прямых образуетв пространстве плоскость, параллельнуюзаданной плоскости;

Рис. 35. Прямая, параллельнаяплоскости

3) прямая пересекается с плоскостью. Прямая пересекается с плоскостью в точке. Построить точку пересечения прямой с плоскостью — значит найти точку, принадлежащую одновременно заданной прямой и плоскости.

Рассмотрим примеры.

1. Прямая общего положения пересекается с плоскостью частного положения (рис. 36, а).

Плоскость α ( АВС) — фронтально-проецирующая плоскость, фронтальная проекция которой обладает собирательным свойством. Следовательно, K α ( АВС) П2 K2 αΠ2 ( А2В2С2). Видимость

прямой определяется методом конкурирующих точек.

2. Прямая частного положения пересекается с плоскостью общего положения (рис. 36, б).

Прямая c — горизонтально-проецирующая прямая. Следовательно, K c П1 K1 ≡c1. Для определения фронтальной проекции точки K2 необходимо через горизонтальную проекцию точки K1 провести проекцию любой прямой, принадлежащей плоскости α (∆АВС), например, A1D1. Тогда |A2D2| ∩ c2 = K2. Видимость прямой определяется методом конкурирующих точек.

3. Прямая общего положения пересекается с плоскостью общего положения (рис. 36, в).

46

Для определения точки пересечения прямой l с плоскостью α (∆АВС) применяют метод посредника, т. е. вводят вспомогательную секущую (проецирующую) плоскость. Например, прямую l заключают в плоскость частного положения β — фронтально-проецирующую. Определяют проекции линии пересечения двух плоскостей α (∆АВС) и β: фронтальную — D2E2, и горизонтальную — D1E1. Там, где горизонтальная проекция D1E1 пересечет горизонтальную проекцию прямой l1, и будет точка K — точка пересечения прямой l и плоскости α (∆АВС). Видимость прямой определяется методом конкурирующих точек.

Рис. 36. Пересечение прямой с плоскостью

Частным случаем пересечения прямой и плоскости является перпендикулярность этой прямой заданной плоскости.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости

(рис. 37, а). В качестве пересекающихся прямых, принадлежащих плоскости, используют горизонталь и фронталь данной плоскости.

Прямая перпендикулярна плоскости, заданной следами, если ее проекцииперпендикулярныодноименным следам этой плоскости (рис. 37, б).

Рис. 37. Прямая, перпендикулярная плоскости

47