3.Горизонтальную проекцию сечения геометрического тела плос-

костью (1121415131) и фронтальную (1222425232) определяют из условия принадлежности точки прямой.

4.Натуральную величину сечения поверхности плоскостью в данной задаче определяют способом замены плоскостей проекций.

Тема 8. Пересечение поверхности прямой линией

Пересечение прямой с поверхностью называется проницанием. Построение точек пересечения прямой с поверхностью геометрических тел в общем случае сводится к следующему алгоритму:

1)заключить прямую во вспомогательную плоскость-посредник;

2)построить линию пересечения плоскости-посредника с поверхностью заданного геометрического тела;

3)определить точки пересечения линии сечения с данной прямой, которые и будут являться искомыми точками пересечения прямой с заданной поверхностью.

Рассмотрим некоторые примеры.

З а д а ч а 33

Дано: прямая трехгранная призма и прямая общего положения l

(рис. 105, а).

Выполнить: 1) определить точки пересечения прямой с заданной поверхностью; 2) определить видимость прямой l.

Порядок выполнения:

Призматическая поверхность является горизонтально-проецирую- щей, поэтому проекции точек пересечения прямой с поверхностью могут быть построены без применения вспомогательной плоскости, только с помощью линий проекционной связи. Горизонтальные проекции K1 и M1 точек пересечения прямой l с призмой определяют в пересечении горизонтальных проекций призмы и прямой. Фронтальные проекции точек K2 и M2 определяют с помощью линий проекционной связи. Видимость прямой l определяют по положению точек K и M.

З а д а ч а 34

Дано: прямой круговой цилиндр и прямая общего положения l

(рис. 105, б).

Выполнить: 1) определить точки пересечения прямой l с заданной поверхностью; 2) определить видимость прямой.

Порядок выполнения:

Цилиндрическая поверхность в данном примере является гори- зонтально-проецирующей, поэтому проекции точек пересечения прямой с поверхностью могут быть построены без применения вспомога-

119

тельной плоскости-посредника, только с помощью линий проекционной связи. Горизонтальную проекцию K1 точки пересечения прямой l с цилиндром определяют в пересечении горизонтальных проекций цилиндра и прямой. Фронтальную проекцию точки K2 определяют с помощью линий проекционной связи. В точке M прямая пересекает верхнее основание цилиндра. Здесь определяют фронтальную проекцию M2 точки пересечения прямой l с цилиндром, горизонтальную проекцию M1 находят в проекционной связи. Видимость прямой l определяют по положению точек K и M.

в г

Рис. 105. Пересечение геометрических тел прямой общего положения

120

З а д а ч а 35

Дано: прямая трехгранная пирамида ABCS с вершиной в точке S и прямая общего положения l (рис. 105, в).

Выполнить: 1) определить точки пересечения прямой l с заданной поверхностью; 2) определить видимость прямой.

Порядок выполнения:

1. Заключают прямую l во фронтально-проецирующую плоскостьпосредник α. Фронтальный след αΠ2 фронтально-проецирующей плоско-

сти α обладает собирательным свойством. Следовательно, пересечение фронтального следа αΠ2 с ребрами пирамиды ABCS образует фронталь-

нуюпроекциюсечениягеометрическоготелаплоскостью—122232.

2.Выстраивают горизонтальную проекцию линии пересечения

плоскости-посредника α с пирамидой — 112131. Горизонтальную проекцию сечения геометрического тела плоскостью определяют из условия принадлежности точки прямой.

3.Определяют горизонтальные проекции N1 и M1 точек пересечения горизонтальных проекций линии сечения и прямой l, которые

ибудут являться искомыми точками пересечения прямой с заданной

поверхностью. Фронтальные проекции N2 и M2 точек пересечения прямой с поверхностью пирамиды определяют с помощью линий проекционной связи.

4.Видимость прямой l определяют по положению точек N и M.

З а д а ч а 36

Дано: прямой круговой конус с вершиной в точке S и прямая общего положения l (рис. 105, г).

Выполнить: 1) определить точки пересечения прямой l с заданной поверхностью; 2) определить видимость прямой.

Порядок выполнения:

Задача может быть решена двумя способами. Рассмотрим первый способ.

1.Заключают прямую l в плоскость-посредник α, заданную двумя пересекающимися прямыми, одна из которых прямая l, а другая прямая m, проходящая через вершину конуса S и пересекающая прямую l

вточке K.

2.Преобразуют плоскость-посредник α, заданную двумя пересекающимися прямыми, в плоскость, заданную следами. Определяя горизонтальные следы прямых l и m, выстраивают горизонтальный след

αΠ1 плоскости α.

3.Выстраивают горизонтальную проекцию линии пересечения

плоскости α (l ∩ m) с конусом (треугольник с вершиной S).

121

4.Определяют горизонтальные проекции 11 и 21 точек пересечения горизонтальных проекций линии сечения и прямой l, которые

ибудут являться искомыми точками пересечения прямой с заданной

поверхностью. Фронтальные проекции 12 и 22 точек пересечения прямой с поверхностью конуса определяют с помощью линий проекционной связи.

5.Видимость прямой l определяют по положению точек 1 и 2.

Рассмотрим второй способ (рис. 106).

Рис. 106. Пересечение конуса прямой общего положения

1. Заключают фронтальную проекцию прямой l во фронтально проецирующую плоскость-посредник α. Фронтальный след αΠ2 фрон-

тально проецирующей плоскости α обладает собирательным свойством. Следовательно, пересечение фронтального следа αΠ2 с поверх-

ностью конуса образует фронтальную проекцию сечения геометрического тела плоскостью — 122232425262728292102.

122

2.Выстраивают горизонтальную проекцию линии пересечения

плоскости α с конусом (112141618110191715131). Горизонтальную проекцию сечения геометрического тела плоскостью определяют из условия принадлежности точки прямой.

3.Определяют горизонтальные проекции А1 и В1 точек пересечения горизонтальных проекций линии сечения и прямой l, которые

ибудут являться искомыми точками пересечения прямой с заданной

поверхностью. Фронтальные проекции A2 и B2 точек пересечения прямой с поверхностью конуса определяют с помощью линий проекционной связи.

4.Видимость прямой l определяют по положению точек A и B.

З а д а ч а 37

Дано: прямая трехгранная пирамида ABCS c вершиной в точке S и фронтально-проецирующая прямая l (рис. 107, а).

Выполнить: 1) определить точки пересечения прямой l с заданной поверхностью; 2) определить видимость прямой.

Рис. 107. Пересечение геометрических тел прямой частного положения

123

Порядок выполнения:

1. Заключают прямую l в горизонтальную плоскость уровня α. Фронтальный след αΠ2 горизонтальной плоскости уровня α обладает

собирательным свойством. Следовательно, пересечение фронтального следа αΠ2 с ребрами пирамиды образует фронтальную проекцию се-

чения геометрического тела плоскостью — 122232.

2.Выстраивают горизонтальную проекцию линии пересечения

плоскости-посредника α с пирамидой — 112131. Горизонтальную проекцию сечения геометрического тела плоскостью определяют из условия принадлежности точки прямой.

3.Определяют горизонтальные проекции N1 и M1 точек пересечения горизонтальных проекций линии сечения (112131) и прямой l, которые и будут являться искомыми точками пересечения прямой с задан-

ной поверхностью. Фронтальные проекции N2 и M2 точек пересечения прямой с поверхностью пирамиды определяют с помощью линий проекционной связи. Так как прямая l является фронтально-проецирую-

щей прямой, то l2 ≡ M2 ≡ N2.

4. Видимость прямой l определяют по положению точек N и M.

З а д а ч а 38

Дано: прямой круговой конус с вершиной в точке S и горизонталь- но-проецирующая прямая l (рис. 107, б).

Выполнить: 1) определить точки пересечения прямой l с заданной поверхностью; 2) определить видимость прямой.

Порядок выполнения:

Задача может быть решена двумя способами. Рассмотрим первый способ.

1. Заключают прямую l в горизонтально-проецирующую плос- кость-посредник β, проходящую через вершину конуса S. Горизонтальный след βΠ1 горизонтально проецирующей плоскости β обладает

собирательным свойством. Следовательно, пересечение горизонтального следа βΠ1 с поверхностью конуса образует горизонтальную про-

екцию сечения геометрического тела плоскостью — 11S121.

2.Выстраивают фронтальную проекцию линии пересечения плос- кости-посредника β с конусом — 12S222.

3.Определяют фронтальную проекцию А2 точки пересечения фронтальных проекций линии сечения и прямой l, которая и будет являться искомой точкой пересечения прямой с заданной поверхностью.

Горизонтальную проекцию А1 точки пересечения прямой с поверхностью конуса определяют с помощью линий проекционной связи. Так

как прямая l является горизонтально-проецирующей прямой, то l1 ≡ A1. 4. Видимость прямой определяют по положению точки А.

124

Рассмотрим второй способ (см. рис. 107, б).

1.Через горизонтальную проекцию прямой l1 проводят параллель

ввиде окружности.

2.Определяют фронтальную проекцию полученной параллели —

плоскость αΠ2 .

3.Определяют фронтальную проекцию А2 точки пересечения фронтальных проекций окружности и прямой l, которая и будет являться искомой точкой пересечения прямой с заданной поверхностью.

Горизонтальную проекцию А1 точки пересечения прямой с поверхностью конуса определяют с помощью линий проекционной связи.

4.Видимость прямой определяют по положению точки А.

З а д а ч а 39

Дано: сфера и прямая общего положения l.

Выполнить: 1) определить точки пересечения прямой l с заданной поверхностью; 2) определить видимость прямой.

Порядок выполнения:

Задача может быть решена двумя способами. Первый способ (рис. 108):

1.Применяя способ замены плоскостей проекций, прямую l преобразуют из общего положения в частное. Для этого вначале ограничи-

вают прямую l в точках A и B. Новую плоскость П4 выстраивают параллельно горизонтальной проекции прямой A1B1. В плоскости П4 выстраивают проекцию сферы и проекцию прямой l 4.

2.Заключают прямую в горизонтально-проецирующую плос-

кость-посредник α. Горизонтальный след αΠ1 горизонтально-

проецирующей плоскости α обладает собирательным свойством. Следовательно, пересечение горизонтального следа αΠ1 с поверхно-

стью сферы образует горизонтальную проекцию сечения геометрического тела плоскостью.

3.Выстраивают в плоскости П4 проекции прямой l4 (A4B4) и линии пересечения плоскости-посредника α со сферой. Так как секу-

щая плоскость параллельна плоскости проекций П4, то на эту плоскость сечение проецируется в виде окружности (в натуральную величину).

4.Определяют проекции 14 и 24 точек пересечения горизонтальных проекций линии сечения (окружности) и прямой l, которые и будут являться искомыми точками пересечения прямой с заданной поверхно-

стью. Горизонтальные 11 и 21 и фронтальные 12 и 22 проекции точек пересечения прямой l с поверхностью сферы определяют с помощью линий проекционной связи.

5.Видимость прямой l определяют по положению точек 1 и 2.

125

и будут являться искомыми точками пересечения прямой с заданной поверхностью. Фронтальные проекции А2 и В2 точек пересечения прямой с поверхностью конуса определяют с помощью линий проекционной связи.

4. Видимость прямой определяют по положению точек А и В.

Рис. 109. Пересечение сферы прямой общего положения

З а д а ч а 40

Дано: сфера и фронтально-проецирующая прямая l (рис. 110, а). Выполнить: 1) определить точки пересечения прямой l с заданной

поверхностью; 2) определить видимость прямой.

Порядок выполнения:

1. Заключают прямую l в горизонтальную плоскость уровня α. Фронтальный след αΠ2 плоскости α обладает собирательным свой-

ством. Следовательно, пересечение фронтального следа αΠ2 с по-

верхностью сферы образует фронтальную проекцию сечения геометрического тела плоскостью.

2. Выстраивают горизонтальную проекцию линии пересечения плоскости-посредника α со сферой. Так как секущая плоскость парал-

127

лельна горизонтальной плоскости проекций, то на эту плоскость сечение проецируется в виде окружности (в натуральную величину).

3.Определяют горизонтальные проекции 11 и 21 точек пересечения горизонтальных проекций линии сечения (окружности) и прямой l, которые и будут являться искомыми точками пересечения прямой с за-

данной поверхностью. Фронтальные проекции 12 и 22 точек пересечения прямой с поверхностью сферы определяют с помощью линий проекционной связи.

4.Видимость прямой l определяют по положению точек 1 и 2.

Рис. 110. Пересечение сферы прямой частного положения

З а д а ч а 41

Дано: сфера и фронтальная прямая уровня l (рис. 110, б). Выполнить: 1) определить точки пересечения прямой l с заданной

поверхностью; 2) определить видимость прямой.

Порядок выполнения:

1. Заключают прямую l во фронтальную плоскость уровня α. Горизонтальный след αΠ1 плоскости α обладает собирательным свойст-

вом. Следовательно, пересечение горизонтального следа αΠ1 с поверх-

128

ностью сферы образует горизонтальную проекцию сечения геометрического тела плоскостью.

2.Выстраивают фронтальную проекцию линии пересечения плоскости α со сферой. Так как секущая плоскость параллельна фронтальной плоскости проекций, то на эту плоскость сечение проецируется

ввиде окружности (в натуральную величину).

3.Определяют фронтальные проекции 12 и 22 точек пересечения фронтальных проекций линии сечения (окружности) и прямой l, которые и будут являться искомыми точками пересечения прямой с задан-

ной поверхностью. Горизонтальные проекции 11 и 21 точек пересечения прямой с поверхностью сферы определяют с помощью линий проекционной связи.

4.Видимость прямой l определяют по положению точек 1 и 2.

129

Порядок выполнения:

1.Заключают прямую l в плоскость-посредник α, заданную двумя пересекающимися прямыми, одна из которых прямая l, а другая прямая m, проходящая параллельно образующей цилиндра и пересекающая прямую l в точке K.

2.Преобразуют плоскость, заданную двумя пересекающимися прямыми, в плоскость, заданную следами. Определяя горизонтальные сле-

ды М ≡ M1 и M' ≡ М1' прямых l и m, выстраивают горизонтальный след

αΠ1 плоскости α.

3.Выстраивают горизонтальную проекцию линии пересечения

плоскости α с цилиндром (прямоугольник A1B1C1D1).

4.Определяют горизонтальные проекции 11 и 21 точек пересечения горизонтальных проекций линии сечения и прямой l, которые

ибудут являться искомыми точками пересечения прямой с заданной

поверхностью. Фронтальные проекции 12 и 22 точек пересечения прямой с поверхностью цилиндра определяют с помощью линий проекционной связи.

5.Видимость прямой l определяют по положению точек 1 и 2.

З а д а ч а 43

Дано: наклонная призма и прямая общего положения l (рис. 112). Выполнить: 1) определить точки пересечения прямой l с заданной

поверхностью; 2) определить видимость прямой.

Порядок выполнения:

1. Заключают прямую l во фронтально-проецирующую плос- кость-посредник α. Фронтальный след αΠ2 фронтально-проецирую-

щей плоскости α обладает собирательным свойством. Следовательно, пересечение фронтального следа αΠ2 с ребрами призмы образует

фронтальную проекцию сечения геометрического тела плоскостью

D2E2F2.

2.Выстраивают горизонтальную проекцию линии пересечения

плоскости α с призмой — D1E1F1. Горизонтальную проекцию сечения геометрического тела плоскостью определяют из условия принадлежности точки прямой.

3.Определяют горизонтальные проекции 11 и 21 точек пересечения горизонтальных проекций линии сечения и прямой l, которые

ибудут являться искомыми точками пересечения прямой с заданной

поверхностью. Фронтальные проекции 12 и 22 точек пересечения прямой с поверхностью призмы определяют с помощью линий проекционной связи.

4.Видимость прямой l определяют по положению точек 1 и 2.

130