Тема 3. Проекции прямой

3.1. Линии. Кривые линии. Комплексный чертеж прямой. 3.2. Прямые общего и частного положения. 3.3. Следы прямой. 3.4. Определение натуральной величины отрезка прямой и углов наклона его к плоскостям проекций. 3.5. Относительное расположение прямых линий

3.1. Линии. Кривые линии. Комплексный чертеж прямой

Линии занимают особое положение в начертательной геометрии, так как дают возможность создавать наглядные модели многих процессов, устанавливать и исследовать зависимость между ними. Линия в начертательной геометрии рассматривается как траектория перемещения точки на плоскости или в пространстве, и это позволяет опреде-

лить линию как непрерывное множество принадлежащих ей точек.

Различают:

плоские линии, все точки которых принадлежат одной плоскости;

пространственные линии (линии двоякой кривизны), все точки ко-

торых не принадлежат одной плоскости.

Кривая линия в начертательной геометрии рассматривается как траектория, описанная движущейся точкой; как совокупность точек, удовлетворяющих определенному уравнению; а также как линия пересечения двух поверхностей или поверхности с плоскостью. Кривая определяется положением составляющих ее точек. Точки кривой определяются их координатами. Кривые линии подразделяются на алгебраические, если в прямоугольной системе координат они определяются алгебраическими уравнениями, и трансцендентные, если они описываются трансцендентными уравнениями. Примерами плоских кривых линий являются: окружность, эллипс, парабола, гипербола, циклоид

идр. К пространственным кривым линиям относятся: винтовая линия, линия пересечения боковых поверхностей прямых круговых цилиндра

иконуса, оси которых не пересекаются и др.

Рис. 8. Построение проекции кривой линии

26

Для построения проекций кривой (пространственной или плоской) необходимо построить проекции ряда принадлежащих ей точек и соединить между собойодноименныепроекциивтойжепоследовательности, вкакой они располагались на оригинале (рис. 8). Пространственная кривая проецируется в виде плоской линии, плоская кривая — ввиде плоской или ввидепрямойлинии, есликриваянаходитсявпроецирующейплоскости.

По чертежу кривой линии в общем случае можно без дополнительных построений определить плоская она или пространственная. Так на рис. 9, а показана пространственная кривая m, так как фронтальные проекции отрезков прямых KL и EF параллельны (|K2L2| |E2F2|), а горизонтальные проекции K1L1 и E1F1 не параллельны. На рис. 9, б также дана пространственная кривая k, имеющая конкурирующие точки A и B.

Рис. 9. Проекции пространственных кривых линий

Простейшей линией является прямая линия. Она определяется в про-

странстве двумя точками, принадлежащими ей (рис. 10). На комплексном чертежепроекции прямой задаютсяпроекциями этих точек.

Рис. 10. Проекции прямой линии

27

Пусть заданы проекции точек пространства А и В: А1 — горизонтальная проекция точки А; А2 — фронтальная проекция точки А; В1 — горизонтальная проекция точки В; В2 — фронтальная проекция точки В. Соединив одноименные проекции точек А и В, получают проекции отрезка прямой АВ: А1В1 — горизонтальная проекция отрезка прямой АВ и А2В2 — фронтальная проекция отрезка прямой АВ. Для определения положения прямой в пространстве достаточно двух ее проекций. Третью проекцию, например, профильную А3В3, всегда можно определить по двум заданным (см. рис. 10).

3.2. Прямые общего и частного положения

Прямая линия может занимать произвольное положение относительно плоскостей проекций.

Прямая, непараллельная и неперпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения (см. рис. 10). Проекции прямой общего положения произвольно наклонены к осям проекций и на эпюре Монжа составляют с координатными осями произвольные углы наклона.

Прямые, параллельные или перпендикулярные каким-либо плоскостям проекций, называются прямыми частного положения.

Различают:

прямые уровня — прямые, параллельные одной какой-либо плоскости проекций;

проецирующие прямые (дважды параллельные) — прямые, пер-

пендикулярные одной какой-либо плоскости проекций и параллельные двум другим плоскостям проекций одновременно.

Прямые уровня.

1. Горизонтальная прямая уровня — прямая, параллельная гори-

зонтальной плоскости проекций П1 (рис. 11, а). На данную плоскость проекций прямая проецируется в натуральную величину и составляет углы наклона ϕ2 к фронтальной плоскости проекций П2 и ϕ3 к профильной плоскости проекций П3.

2. Фронтальная прямая уровня — прямая, параллельная фрон-

тальной плоскости проекций П2 (рис. 11, б). На данную плоскость проекций прямая проецируется в натуральную величину и составляет углы наклона ϕ1 к горизонтальной плоскости проекций П1 и ϕ3 к профильной плоскости проекций П3.

3. Профильная прямая уровня — прямая, параллельная профильной плоскости проекций П3 (рис. 11, в). На данную плоскость проекций прямая проецируется в натуральную величину и составляет углы наклона ϕ1 к горизонтальной плоскости проекций П1 и ϕ2 к фронтальной плоскости проекций П2.

28