Решение типовой задачи при равноускоренном вращении конструкции
Стальной валик и жестко соединенный с
ним ломаный стержень круглого поперечного
сечения диаметром d вращается с постоянной
частотой n вокруг оси AB (рис. 4.2, а).
Проверить прочность валика, еслиL= 15 см, d = 2,3 см,
=100
МН/м2, n = 1200 об/мин.
Решение.
1) Построим эпюры изгибающих моментов
от возникающих на участках CD и DE сил
инерции.
При вращении системы ускорения всех
частиц элемента DE одинаковы и равны
(радиусом вращения является длина
участка CD), где в соответствии с формулой
(4.2) угловая скорость вращения валика
Масса элемента DE рассчитывается по формуле:
(4.11)
где
– вес элемента DE, так как
–
площадь сечения;
–
удельный вес материала стержня;
g – ускорение свободного падения, g = 9,81 м/с2.
По формуле (4.1) найдем силу инерции, действующую на элемент DE:
(4.12)
Обозначим в выражении (4.12)
(4.13)
тогда
суммарную инерцию участка DE можно
рассматривать как равномерно распределенную
нагрузку интенсивности
=
(рис. 4.2,б).
Ускорения элемента CD переменны. Для
точки С радиус вращения (следовательно,
ускорение) обращается в ноль, соответственно
в этой точке равна нулю и сила инерции.
Для точки D силы инерции те же, что и для
участка DE. Следовательно, можно считать
силы инерции на участке CD распределенными
по закону треугольника с результирующей
(как площадь треугольника эпюры сил
инерции на участке CD).
Таким образом, всю систему можно
рассматривать как плоскую раму,
нагруженную равномерно распределенной
нагрузкой q и сосредоточенной силой N.
Порядок решения такой задачи приведен
в методических указаниях [2, подразд.
4.2, 4.3]. Методом сечений строим эпюру
изгибающих моментов
(рис.
4.2, в).
а
б
в
Рис. 4.2. Нагрузки и изгибающий момент:
а– заданная схема;б– расчетная схема; в– эпюра изгибающих моментов
2) Произведем проверку прочности валика.
Условие прочности на изгиб запишется в виде:
(4.14)
где
=
0,154 кН·м – максимальный изгибающий
момент в опасном сечении валика (см.
рис. 4.2,в);
– осевой момент сопротивления круглого
сечения валика.
Тогда максимальные нормальные напряжения в опасном сечении
Таким образом, нормальные напряжения
в валике оказались больше допустимых
(
=100
МН/м2), следовательно, условие
прочности не выполняется. Заданный
валик нельзя использовать при заданной
частоте вращения, поэтому необходимо
либо увеличить его диаметр, либо
использовать при изготовлении валика
более прочную сталь.
Библиографический список
1. Сопротивление материалов / В. К. Окишев, С. П. Андросюк и др. / Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2007. Ч. 1. 24 с.
2. Сопротивление материалов / В. К. Окишев, С. П. Андросюк и др. / Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2007. Ч. 2. 33 с.
3. Смирнов А. Ф. Сопротивление материалов / А. Ф. Смирнов, А. В. Александров, Н. И. Монахов. М.: Высшая школа, 2000. 320 с.
4. Степин П. А. Сопротивление материалов / П. А. Степин.М.: Высшая школа, 2001. 380 с.