1. Расчеты на прочность и жесткость плоских рам

   1. Основные теоретические сведения

Рамой называется конструкция, образованная несколькими жестко соединенными между собой прямолинейными стержнями.

Если все стержни, образующие раму, и внешняя нагрузка лежат в одной плоскости, то рама называется плоской (рис. 1.1).

В отличие от изгиба балок [4]в сечениях плоских рам возникает дополнительное внутреннее усилие – продольная сила N.

Продольная сила в произвольном сечении рамы равна алгебраической сумме всех внешних сил, лежащих по одну сторону от проведенного сечения и направленных вдоль оси рассматриваемого стержня рамы. Растягивающая сила принимается со знаком «плюс», сжимающая – со знаком «минус».

Два других внутренних усилия – поперечная сила Q_yи изгибающий момент – вычисляются аналогично внутренним усилиям при изгибе балок[3].Следует лишь учесть, что для рамы изгибающий момент положителен, если растянуты внутренние волокна рассматриваемого участка.

С

В

Рис. 1.1. Расчетная схема плоской рамы

2. Решение типовой задачи

Для заданной плоской рамы (см. рис. 1.1) записать выражения для расчета внутренних усилий N, Q_yи момента M_zв общем виде по участкам, построить эпюры N, Q_yи M_z, найти M_{z max}, подобрать круглое поперечное сечение при [σ] = 160·10³кН/м², определить вертикальное перемещение точки В, используя универсальный метод Мора (вычисляя интегралы по способу Симпсона). Руководствуясь расчетом и эпюрой изгибающих моментов, показать приблизительный вид изогнутой линии стержней рамы.

Принять: q = 10 кН/м; а = 2 м; с = 4 м.

Решение.

Определяем реакции опор с помощью уравнений равновесия:

(1.1)

(1.2)

(1.3)

Из уравнений (1.1) – (1.3) соответственно находим: и

Для проверки правильности нахождения значений H_AиH_Bсоставляем дополнительное уравнение равновесия:

(1.4)

После подстановки полученных данных в уравнение (1.4) получаем: следовательно, реакции найдены верно.

Рама состоит из трех стержней. На каждом стержне проводим сечение, определяемое координатами x₁,x₂,x₃(условимся для всех стержней осьxнап-равлять вдоль стержня). Запишем уравнения внутренних усилий по участкам.

Первый участок:.

; (1.5) ; (1.6) . (1.7)

При x₁= 0кН; кН; . Приx₁= 4кН; ; (кН·м).

Третью точку для построения эпюры M_zвозьмем посредине участка.

При x₁= 2(кН·м).

Второй участок:.

; (1.8); (1.9)(1.10)

Третий участок:.

; (1.11); (1.12)(1.13)

При х₃= 0При х₃= 2(кН·м).

По результатам расчета построим эпюры внутренних сил (рис. 1.2).

а б в

Рис. 1.2. Эпюры внутренних усилий:

N, кН (а); Q_y, кН (б); M_z, кНм (в)

При построении эпюр N и Q_yположительные ординаты откладываем с внешней стороны рамы, отрицательные – с внутренней. Эпюру изгибающих моментов строим со стороны растянутых волокон.

Для проверки правильности построения эпюр вырежем бесконечно малый элемент из узла рамы и приложим к нему все внутренние и внешние усилия (рис. 1.3).

Проверим равновесие узлов, составив уравнения равновесия:

Узел С:

Узел К:

Проверка показала, что узлы находятся в равновесии, следовательно, эпюры построены верно.

а б

Рис. 1.3. Схематическое изображение проверки равновесия узлов С (а) и К (б)

Поперечное сечение стержней рамы выбираем по условию прочности:

(1.14)

отсюда (м) = 17,4 (см).

Значение берем из эпюры изгибающих моментов (см. рис. 1.2).

Определяем осевой момент инерции стержней рамы:

(1.15)

После подстановки данных в уравнение (1.15) получаем: (см⁴) = 0,4497·10^-4(м⁴). Жесткость стержней рамы(кНм²).

Для вычисления вертикального перемещения сечения В выберем вспомогательное состояние рамы, отбросив в заданной схеме рамы (см. рис. 1.1) внешние нагрузки и приложив в точке В вертикальную вспомогательную силу, равную единице (рис. 1.4, а).

Построим для вспомогательного состояния рамы эпюру изгибающих моментов . Найдем новые реакции опор:

(1.16)

(1.17)

(1.18)

отсюда

Для проверки правильности нахождения значений опорных реакций составляем дополнительное уравнение равновесия:

следовательно, реакции опор найдены верно.

а б

Рис. 1.4. Вспомогательное состояние рамы:

а –расчетная схема; б –эпюра

Запишем уравнения изгибающего момента по участкам рамы:

Первый участок:

При х₁= 00. При х₁= 4

Второй участок:

При х₂= 0При х₂= 2

Третий участок:

При х₃= 0При х₃= 2

По результатам расчета построим эпюру (см. рис. 1.4,б).

Перемещение сечения В найдем по формуле Симпсона:

(1.19)

(м).

Напомним, что при вычислении произведения ординат M_zибыли записаны с отрицательным знаком, так как значения ординат были отложены в разные стороны от стержней рамы.

Отрицательный ответ указывает на то, что действительное перемещение сечения В происходит в противоположную направлению выбранной вспомо-гательной единичной нагрузки сторону. Примерный вид изогнутой линии стержней рамы показан на рис. 1.5 пунктирной линией.

B

Рис. 1.5. Схематическое изображение деформации стержней рамы