2. Кинематика и динамика материальной точки

Всякое движение относительно, поэтому для рассмотрения движения тел нужна система отсчета – это набор тел, связанная с ним система координат (чаще декартова) и прибор для отсчета времени (часы).

Наиболее простой и удобной является инерциальная система отсчета (ИСО), в которой тело, не испытывающее внешнего воздействия со стороны других тел, либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно, т. е. по инерции.

Любое сложное движение твердого тела можно представить в виде суммы двух движений: поступательного и вращательного.

Поступательное движение твердого тела – это такое движение, при котором любая прямая, проведенная через две произвольные точки тела, остается при движении параллельной самой себе. При таком движении все точки тела движутся одинаково, поэтому достаточно описать движение лишь одной точки тела, например центра инерции (центра масс) тела. Для этого можно воспользоваться законами движения материальной точки.

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям с центрами, лежащими на оси вращения.

Материальная точка (частица) – это модель физического тела, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием, на которое это тело перемещается или на котором оно взаимодействует с другими телами.

Основными кинематическими характеристиками материальной точки являются перемещение , скоростьи ускорение.

Перемещение – это направленный отрезок (вектор), проведенный из начального положения материальной точки в конечное (рис. 1):

(1)

(1а)

где  радиус-вектор частицы – вектор, проведенный из начала координат в точку, в которой находится частица в данный момент времени;

х, у, z – проекции перемещения на координатные оси;

–орт-векторы декартовой системы координат.

В системе СИ перемещение измеряется в метрах (м).

Быстроту движения материальной точки характеризует скорость.

Скорость– векторная физическая величина, равная перемещению материальной точки за единицу времени (или первая производная от радиус-вектора материальной точки по времени):

(2)

В проекциях на координатные оси формула (2) имеет вид:

(2а)

Вектор направлен в сторону элементарного перемещения () по касательной к траектории движения. В системе СИ скорость измеряется в метрах в секунду (м/с).

Для нахождения перемещения материальной точки по известной скорости необходимо вычислить интеграл:

(3)

Если =const, то частица движется равномерно прямолинейно, например, вдоль оси Ох. Тогда

(4)

т. е. частица за равные промежутки времени перемещается на одинаковое расстояние.

Если  const , то частица движется с ускорением.

Ускорение – векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости и равная изменению скорости за единицу времени (или первая производная от скорости по времени):

(5)

В проекциях на координатные оси уравнение (5) имеет вид:

(5а)

Вектор направлен в сторону изменения скорости (). В системе СИ ускорение измеряется в метрах на секунду в квадрате (м/с²).

вектор ускорения можно представить в виде суммы двух составляющих: касательного (тангенциального)и нормального (центростремительного)ускорений:

= +. (6)

Тангенциальное (касательное) ускорениехарактеризует быстроту изменения скорости только по значению:

(7)

и всегда направлено (рис. 2) вдоль скорости () по касательной к траектории.

Нормальное (центростремительное) ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению, оно всегда направлено (см. рис. 2) перпендикулярно к(), к центру кривизны траектории в данной точке, и вычисляется по формуле:

, (8)

где R – радиус кривизны траектории в данной точке.

Для нахождения скорости движения материальной точки по известному ускорению следует вычислить интеграл:

(9)

Если а = а_ = const, а_n = 0, то частица движется равнопеременно прямолинейно, например, вдоль оси Ох. Тогда из уравнений (9) и (3) получим:

; (10)

; (11)

; (12)

. (13)

При таком движении модуль скорости частицы за равные промежутки времени изменяется на одинаковую величину.

Как правило, ось Охнаправляют вдоль скорости движения, тогда приа_х > 0 движение будет равноускоренным, при а_х< 0 – равнозамедленным.

При  const для вычисления скорости частицы и ее местоположения необходимо пользоваться общими формулами (3) и (9).

При рассмотрении движения материальной точки относительно разных ИСО, движущихся с постоянной скоростью (=const) относительно друг друга, можно воспользоваться законом сложения скоростей в классической механике:

, (14)

где – скорость частицы относительно неподвижной ИСО;

–скорость той же частицы относительно движущейся ИСО;

–скорость движущейся ИСО относительно неподвижной.

В проекциях на координатные оси закон (14) примет вид:

(15)

;

;

.

В основе динамики материальной точки лежат три закона Ньютона.

Первый закон Ньютона: частица, на которую не действуют другие частицы или если их действие скомпенсировано, либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно, т. е. по инерции (еслиили, то= 0 или=const,= 0).

Второй закон Ньютона: частица, на которую действует другая частица, движется с ускорением, прямо пропорциональным действующей силе и обратно пропорциональным массе частицы:

, (16)

где – сила, действующая на частицу, – количественная мера действия однойчастицы на другую; в системе СИ сила измеряется в ньютонах (Н);

m– масса частицы – мера инертности тела при поступательном движении и мера гравитационного притяжения тел. В системе СИ масса измеряется в килограммах (кг).

Третий закон Ньютона: сила, действующая со стороны одной частицы на другую, равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой вторая частица действует на первую:

(17)

В механике изучают следующие силы.

Гравитационная сила возникает между всеми телами, обладающими массой, всегда носит характер притяжения. Для двух материальных точек или для однородных тел сферической формы гравитационную силу можно вычислить по закону всемирного тяготения:

F = G, (18)

где r – расстояние между материальными точками или центрами сферических тел,

G – гравитационная постоянная.

Если m₁=М_З– масса Земли, аm– масса любой частицы, находящейся на расстоянииr = R_З + hот центра Земли (R_З – радиус Земли), то гравитационную силу, с которой Земля притягивает к себе любую частицу, называют силой тяжести и вычисляют по формуле:

(19)

где g =G– ускорение свободного падения на высотеhнад поверх-ностью Земли.

вблизи поверхности Земли (h<<R_З)g =G.

Сила тяжести в ИСО всегда направлена вниз, к центру Земли (рис. 3).

а б в

Рис. 3

Сила упругости возникает в упругих телах при их деформации (сжатии или растяжении), всегда направлена в сторону, противоположную деформации (рис. 4), и вычисляется по закону Гука:

F_х = –kx, (20)

где k – коэффициент упругости (жесткости) тела, Н/м.

а б в

Рис. 4

Если на опору или подвес действует сила, то в них возникает сила упругости, которую называют силой реакции опоры или силой натяжения . Сила всегда перпендикулярна опоре и направлена от нее (рис. 5, а, б), а сила – вдоль подвеса (рис. 5, в, г).

а б в г

Рис. 5

Вес тела– сила, действующая на опору или подвес из-за притяжения к Земле. Вес приложен к опоре или подвесу и направлен в сторону, противоположнуюили , по третьему закону Ньютона:

= –или = –,(21)

поэтому для вычисления веса тела необходимо вычислить силу или и приравнять их к весу.

Вес тела может быть больше силы тяжести (Р>mg) (перегрузка), меньше силы тяжести (P<mg) и равен нулю (невесомость).

Сила трения скольжения возникает при скольжении одного тела по поверхности другого, всегда направлена в сторону, противоположную относительному движению (рис. 6).

Сила трения скольжения

=  , (22)

где   коэффициент трения скольжения.

Для автомобилей, локомотивов и других тел роль силы тяги выполняет сила трения покоя.

Если на частицу действует несколько сил, то согласно принципу суперпозиции их действие происходит независимо друг от друга, а результирующая сила (равнодействующая) определяется векторной суммой отдельных сил, действующих на частицу:

=. (23)

Тогда основное уравнение динамики материальной точки (поступательного движения тела) можно сформулировать так: в ИСО произведение массы частицы на ее ускорение равно векторной сумме всех сил, действующих на эту частицу:

=. (24)

Для записи векторного уравнения (24) в скалярной форме выбирают ИСО (осьОх направляют вдоль движения частицы) и находят проекции всех векторов на координатные оси:

; (25)

Проекции вектора на координатные оси (рис. 7) вычисляются по формулам:

(26)

где , углы между направлением вектораи направлением соответствующей координатной оси.