2473
.pdf
При использовании покупателями первой игровой стратегии выигрыш АО будет 0,66p1 +0,88p2 , при второй стратегии он составит 1,32p1 +0,52p2 , при третьей –
1,42p1 +0,32p2 .
Так как p2 = 1 − p1 , то выигрыши АО составят:
y1 |
= 0,6 p1 + 0,88(1 − p1 ) = 0,88 − 0,22 p1 , |
(1) |
y2 |
= 1,32 p1 + 0,52(1− p1) = 0,52 + 0,8 p1 , |
(2) |
y3 |
= 1,42 p1 + 0,32(1 − p1 ) = 0,32 + 1,1p1 . |
(3) |
Целью АО является нахождение υ = max min{y1 , y2 , y3 }
Построим в системе координат p1Oy соответствующие прямые (рис. 2):
y
(2)
1,0
B
C
(1)
0,5
A
(3)
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
p |
1,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2 |
при |
p1 |
= 0; |
y1 |
= 0,88; |
при |
p1 |
= 1; |
y1 |
= 0,66; |
||
при |
p1 |
= 0; |
y2 |
= 0,52; |
при |
p1 |
= 1; |
y2 |
= 1,32; |
||
при |
p |
= 0; |
y |
3 |
= 0,52; |
при |
p |
= 1; |
y |
3 |
= 1,42. |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
Область |
минимальных |
значений yi (i = 1,2,3) определяется многоугольником |
||||||||
ОАВСД. Максимальное значение y |
|
будет в точке В, являющейся пересечением прямых |
|||||||||
(1) и (3). Она и определит оптимальные стратегии АО и цену игры. Найдем координаты точки В решая совместно уравнения прямых (1) и (3):
31
y = 0,88 |
− 0,22 p1 |
→ 0,88 |
− 0,22 p1 |
= 0,32 + 1,1p1 → 0,56 = 1,32 p1 ; p1 = 0,424 . |
|
+ 1,1p1 |
|||
y = 0,32 |
|
|
|
Тогда p2 = 0,576 , а v = 0,88 − 0,22 0,424 = 0,786 .
Таким образом стратегии АО будут оптимальными, если они будут применяться с вероятностями p1 = 0,424 и p2 = 0,576 . Приэтомоптимальныйвыигрышсоставит v = 0,786 ед.
Проигрыши покупателей определяются равенствами
z1 |
= 0,66q1 + 1,32q2 |
+ 1,42q3 |
, |
(*) |
|
z2 |
= 0,88q1 + 0,52q2 |
+ 0,32q3 . |
|||
|
|||||
По теореме двойственности минимальный проигрыш покупателей равен максимальному выигрышу АО. Это значит, что стратегии покупателей должны определяться условием z1 = z2 = v = 0,786 . Кроме того, т.к. оптимальный выигрыш АО определялся прямыми (1) и(3), т.е. при первой и третьей стратегиях покупателей, и q2 = 0 определить нужно q1 и q3 . Таким образом из (*) получаем:
0,786 |
= 0,66q1 |
+ 1,42q3 |
|
q3 |
= 0,166; q1 = 0,834 . |
|
= 0,88q1 |
+ 0,32q3 |
|
||
0,786 |
|
|
|
Итак, максимальный выигрыш АО(минимальный проигрыш покупателей), равный 0,786 ед., будет тогда, когда АО свои две стратегии будет применять с вероятностями p1 = 0,424 и p2 = 0,576 , а покупатели свои три стратегии будут применять с вероятностями
q1 = 0,834, q2 = 0, q3 = 0,166.
Задание 8. Для трехотраслевой экономической системы задана матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции:
|
0,2 |
0,0 |
0,2 |
|
100 |
|
|
|
|
|
|||
А = |
|
0,4 |
|
; |
Y = 500 |
|
0,6 |
0,1 |
|||||
|
0,1 |
0,5 |
0,0 |
|
200 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
Проверить продуктивность матрицы А и определить вектор валового выпуска продукции.
Решение
1. Проверим продуктивность матрицы, вычислив обратную матрицу (Е − A)−1 :
а) Находим матрицу
32
1 |
0 |
0 |
0,2 |
0,0 |
0,2 |
0,8 |
0,0 |
- 0,2 |
|||
|
1 |
|
|
0,4 |
|
|
|
|
0,6 |
|
|
(Е− A) = 0 |
0 |
− 0,6 |
0,1 |
= - 0,6 |
|
- 0,1 |
|||||
0 |
0 |
1 |
0,1 |
0,5 |
0,0 |
|
- 0,1 |
- 0,5 |
1,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
б) Вычисляем определитель матрицы E − A
E − A |
|
Т = В = |
0,8 |
0,0 |
- 0,2 |
= 10−3 |
8 |
0 |
- 2 |
= 368 10−3 = 0,368 ≠ 0 . |
|
- 0,6 |
0,6 |
- 0,1 |
- 6 |
6 |
-1 |
||||
|
||||||||||
|
|
|
- 0,1 |
- 0,5 |
1,0 |
|
-1 |
- 5 |
10 |
|
Определитель не равен нулю, матрица (Е − A) невырожденная и имеет обратную.
в) Транспонируем матрицу (Е − A) и находим присоединенную к ней матрицу (Е− A)* , образованную алгебраическими дополнениями транспонированной матрицы.
|
|
b |
b |
b |
|
|
|
0,8 |
- 0,6 |
- 0,1 |
|
(Е − A) |
Т |
11 |
12 |
13 |
|
= |
|
0,0 |
0,6 |
|
|
|
= В = b21 |
b22 |
b23 |
|
- 0,5 |
||||||
|
|
|
b32 |
|
|
|
|
|
- 0,1 |
1,0 |
|
|
|
b31 |
b33 |
|
- 0,2 |
. |
|||||
Находим алгебраические дополнения для элементов этой матрицы:
В |
= |
|
|
|
0,6 |
- 0,5 |
= 0,55; |
В |
|
= − |
0 |
- 0,5 |
= 0,10 ; |
В |
= |
0,0 |
0,6 |
= 0,12 ; |
|||||||||||||||||||
11 |
|
- 0,1 |
1,0 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
- 0,2 |
1,0 |
|
|
13 |
|
- 0,2 |
-1,0 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
В |
= − |
|
|
0,6 |
- 0,1 |
|
= 0,61; |
В |
22 |
= |
|
0,8 |
- 0,1 |
|
= 0,78; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
21 |
|
|
|
|
|
|
- 0,1 |
1,0 |
|
|
|
|
|
|
- 0,2 |
1,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
В |
= − |
|
|
0,8 |
- 0,6 |
|
= 0,20; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
23 |
|
|
|
|
|
|
|
- 0,2 |
-1,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В |
= |
|
- 0,6 |
- 0,1 |
|
= 0,36 ; |
В |
|
= − |
|
0,8 |
- 0,1 |
|
= 0,40 ; |
В |
= |
|
0,8 |
- 0,6 |
|
= 0,48 . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
31 |
|
|
|
|
0,6 |
- 0,5 |
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
0 |
0,5 |
|
|
|
|
33 |
|
|
|
0,0 |
-1,0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Таким образом, присоединенная матрица имеет вид:
|
|
|
В |
В |
В |
|
|
0,55 |
0,10 |
0,12 |
|
|
* |
|
11 |
12 |
13 |
|
|
|
|
|
|
Е − A |
|
|
|
= |
0,78 |
0,20 |
|||||
|
= |
В21 |
В22 |
В23 |
0,61 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
В31 |
В32 |
|
|
|
|
0,40 |
|
|
|
|
|
В33 |
|
0,36 |
0,48 . |
|||||
33
г) Находим обратную матрицу |
(Е − А)−1 = |
(Е − A)* |
: |
||||||||||
|
Е − А |
|
|||||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0,55 |
0,10 |
0,12 |
|
|
|
|
|
Е − А |
|
−1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0,61 |
0,78 |
0,20 |
|
|
|
|
||
|
|
|
0,368 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0,36 |
0,40 |
0,48 . |
|
|
|
|
Сделаем проверку, чтобы убедиться в том, что при нахождении обратной матрицы не допущена ошибка в вычислениях:
Е − А−1 Е − А = Е
|
1 |
0,55 0,10 |
0,12 |
0,8 |
0,0 |
- 0,2 |
|
1 |
0,368 |
0 |
0 |
|
|
||||
0,61 |
0,78 |
0,20 |
|
- 0,6 |
0,6 |
- 0,1 |
= |
|
0 |
0,368 |
0 |
|
= Е |
||||
0,368 |
0,368 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0,36 0,40 |
0,48 |
- 0,1 -,06 |
1,0 |
|
|
|
0,368 |
|
|||||||
Проверка |
проходит, |
|
найденная |
обратная |
матрица |
(Е− А)−1 |
не |
|
содержит |
||||||||
отрицательных элементов, следовательно, исходная матрица прямых затрат А продуктивна.
2. Определяем вектор валового выпуска продукции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0,55 0,10 0,12 100 |
|
|
1 |
|
129 |
|
350 |
|
|||
Х = (Е − A) |
−1 |
Y = |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
≈ |
|
|
||||||
|
|
|
0,61 |
0,78 |
0,20 500 |
|
|
491 |
1334 ; |
|||||||||||
|
|
|
0,368 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0,368 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,36 |
0,40 0,48 200 |
|
|
|
332 |
|
902 |
|
|||
х1 |
|
350 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х = |
|
= 1334 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
х3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
902 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: для 1, 2 и 3-й отраслей валовый выпуск составляет следующее количество |
||||||||||||||||||||
единиц продукции: |
х1 = 350 ; |
х2 = 1334 , х3 |
= 902 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
34
35
36