Пример решения контрольной работы №6

Пример 1. Задана выборка X. Для выборки X необходимо:

1) составить интервальный ряд распределения;

2) найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию и выборочное среднее

квадратическое отклонение;

3) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

4) построить гистограмму относительных частот;

5) проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с

помощью критерия Пирсона при уровне значимости 0,05;

6) построить график теоретической плотности вероятности;

7) найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания

генеральной совокупности с надежностью 0,95;

РЕШЕНИЕ.

Определяем объем выборки: n = 100.

1. По значениям выборки X составляем вариационный ряд (табл. 1).

Таблица 1

Определяем минимальное и максимальное значения выборки X: xmin=41, xmax=82.

Длину интервала находим по формуле Стерджеса

hx

x max− x min

1 3,332 lg n

.

Вычисляем: hx = (82 – 41)/(1 + 3,332lg100) = 5,3497. Округляем полученное значение

до ближайшего целого числа. Принимаем длину интервала hx = 6. За начало первого

интервала рекомендуется принимать значение xнач= xmin – hx /2. В данном случае xнач= 38.

Составляем интервальный ряд распределения. Варианту, значение которой совпадает с

нижней границей интервала, включаем в i-й интервал, а варианту, значение которой

44

48	70	49	52	68	61	62	51	61	75
64	61	55	51	53	59	47	69	66	53
68	61	57	60	51	65	48	48	70	76
64	59	69	61	41	45	66	56	61	56
65	49	51	60	69	53	49	74	54	59
65	65	44	64	65	74	76	65	67	65
60	57	68	55	64	67	61	69	56	56
61	68	82	54	53	69	48	60	43	62
52	71	67	57	56	51	72	48	73	61
55	64	55	74	49	57	60	66	61	62

xi	41	43	44	45	47	48	49	51	52	53	54	55	56	57	59	60	61
mi	1	1	1	1	1	5	4	5	2	4	2	4	5	4	3	5	10

xi	62	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	82
mi	3	5	7	3	3	4	5	2	1	1	1	3	1	2	1

совпадает с верхней границей интервала, включаем в следующий (i+1)-й интервал.

Данные заносим в расчетную таблицу (табл. 2).

Таблица 2

Накопленные

частости

для

каждого

интервала

находятся

последовательным

суммированием относительных частот всех предшествующих интервалов, включая

данный.

2. Находим выборочную среднюю, выборочную дисперсию и выборочное среднее

квадратическое отклонение для выборки X.

n 100

= 60,44.

Dв

n

2

=

(41 - 60,44) 2 ·2 (47 - 60,44) 2 ·12 (53 - 60,44) 2 ·17

100

+

+

(59 - 60,44) 2 ·27 (65 - 60,44) 2 ·21 (71 - 60,44) 2 ·14 (77 - 60,44) 2 ·6

100

+

(83 - 60,44) 2 ·1

100

=

80,7264.

 в Dв = 80,7264 = 8,98.

3. Записываем эмпирическую функцию распределения (по значениям столбца "wiнак"

табл. 2).

⎧0 x≤ 41

⎪

⎪0,14 47 x≤ 53

⎪

⎪

⎪

⎪0,93 71 x≤ 77

⎪0,99 77 x≤ 83

⎪1 x 83

45

Начало Конец интервала интервала xi xi+1	Середина интервала ~ x i	Частота интервала mi	Относитель ная частота wi=mi/n	Плотность частоты wi/hx	Накопленны е частости нак wi
38 44	41	2	0,02	0,0333	0,02
44 50	47	12	0,12	0,0200	0,14
50 56	53	17	0,17	0,0283	0,31
56 62	59	27	0,27	0,0450	0,58
62 68	65	21	0,21	0,0350	0,79
68 74	71	14	0,14	0,0233	0,93
74 80	77	6	0,06	0,0100	0,99
80 86	83	1	0,01	0,0017	1,00

∑ ~i mi 41·2 47·12 53·17 59·27 65·21 71·14 77·6 83·1

x в =

∑~i− x в mi

x

⎪0,02 41 x≤ 47

⎪0,31 53 x≤ 59

F∗x⎨0,58 59 x≤ 65

⎪0,79 65 x≤ 71

⎩

Строим график эмпирической функции распределения (рис.1)

F 1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

32

38

44

50

56

62

68

74

80

86

92

Рис. 1

4. По интервальному ряду распределения (значения столбца "wx /hx" табл. 2) строим

гистограмму относительных частот для выборки X (рис.2).

w x

0,05

0,04

0,03

0,02

0,01

0

32

38

44

50

56

62

68

74

80

86

92

Рис. 2

5. Проверяем гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины X.

Теоретические (выравнивающие) частоты находятся по формуле

miT = n [ Ф(zi+1) – Ф(zi)]

где Ф(z) - значения функции Лапласа (Приложение 2),

x− x в

 в

,

x− xв

 в

.

Составляем расчетную таблицу (табл. 3)

Таблица 3

46

xi	xi+1	zi	zi+1	Ф(zi)	Ф(zi+1)	pi= Ф(zi+1) -	T mi = npi
38	44	−∞	-1,83	-0,5	-	0,0336	3,36
44	50	-1,83	-1,16	-	-	0,0894	8,94
50	56	-1,16	-0,49	-	-	0,1891	18,91
56	62	-0,49	0,17	-	0,0675	0,2554	25,54
62	68	0,17	0,84	0,0675	0,2995	0,2320	23,20
68	74	0,84	1,51	0,2995	0,4345	0,1350	13,50
74	80	1,51	2,18	0,4345	0,4854	0,0509	5,09
80	86	2,18	∞	0,4854	0,5	0,0146	1,46
						Σ pi=1	Σ miT

∗x

x

h x

x

z i i

z i1 i1

Получаем таблицу для эмпирических и теоретических частот (табл. 4)

Таблица 4

Проверяем гипотезу о нормальном распределении выборки X с помощью критерия

Пирсона

Объединяем малочисленные

теоретические частоты (табл. 5).

эмпирические

(mi<5)

и

соответствующие

им

Таблица 5

Вычисляем наблюдаемое значение критерия Пирсона

2

m T 12,30 18,91 25,54 23,20

+

(14 - 13,50) 2

13,50

+

(7 - 6,55) 2

6,55

= 0,71.

По таблице критических точек распределения χ2 по заданному уровню значимости α =

0,05 и числу степеней свободы k = s – 3 (s – число интервалов, оставшихся после

объединения малочисленных частот) находим критическую точку правосторонней

критической области (Приложение 3)

 кр2 (0,05; 3)=7,8.

2

величины принимаем.

6. Теоретическая плотность нормального распределения определяется формулой

fx

1

 x 2

e

−

 x− a x2

2 x2

,

где a x x в , x в

Таким образом, теоретическая плотность случайной величины X запишется в виде

fx

1

8,98 2

e

−

 x−60, 44

161,3

2

.

Для построения графика плотности распределения составляем расчетную таблицу

(табл. 6).

Таблица 6

График теоретической плотности строим на одном рисунке с гистограммой (рис.2).

47

x	ax – 3σx	ax – 2σx	ax – σx	ax	ax + σx	ax + 2 σx	ax + 3 σx
f(x)	0,0005	0,006	0,0269	0,0444	0,0269	0,006	0,0005

mi	2	12	17	27	21	14	6	1
T mi	3,36	8,94	18,91	25,54	23,20	13,50	5,09	1,46

mi	14	17	27	21	14	7
T mi	12,30	18,91	25,54	23,20	13,50	6,55

i

Так как набл < кр2 , то гипотезу о нормальном распределении исследуемой случайной

7. Для оценки неизвестного математического ожидания при неизвестном среднем

квадратическом отклонении генеральной совокупности служит интервал

,

n− 1 n− 1

где tγ = t(1 – γ; n – 1) – критическая точка распределения Стьюдента (Приложение 4). По

условию γ = 0,95; n = 100. Отсюда tγ = t(0,05; 99) = 1,984.

Находим искомый интервал

60,44 – 1,984 8,98 < ax < 60,44 + 1,984 8,98 ,

99 99

или окончательно

58,66 < ax < 62,22.

Пример 2. Данные наблюдений над двумерной случайной величиной XY представлены в

корреляционной таблице. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X

y x− y rв

РЕШЕНИЕ.

Находим выборочные средние признаков X и Y:

x в

∑ n x x i

n



5⋅ 6 13⋅ 9 23⋅12 27⋅15 23⋅18 9⋅ 21

100



1431

100

= 14,31.

y в

∑ n y y i

n



6⋅ 2 14⋅ 4 41⋅ 6 29⋅ 8 10⋅ 10

100



646

100

= 6,46.

Находим вспомогательные величины x 2 и y 2 (начальные моменты 2-го порядка):

2

n

2



5⋅ 36 13⋅ 81 23⋅ 144 27⋅ 225 23⋅ 324 9⋅ 441

100

= 220,41.

2

n

2



6⋅ 4 14⋅ 16 41⋅ 36 29⋅ 81 10⋅ 100

100

= 45,8.

Находим выборочные средние квадратические отклонения:

2

2

48

y\x 6	9	12	15	18	21	ny
2 2	3	1	-	-	-	6
4 3	6	4	1	-	-	14
6 -	4	13	14	10	-	41
8 -	-	5	10	8	6	29
10 -	-	-	2	5	3	10
nx 5	13	23	27	23	9	n = 100

x в− t

 a x x в t

x− x .

x

∑ n x x i

y

∑ n y y i

Выборочный коэффициент корреляции находится по формуле

.

Предварительно находим значение величины∑ n xy xy :

∑ n xy xy 2⋅ 6⋅ 2 3⋅ 9⋅ 2 1⋅ 12⋅ 2 3⋅ 6⋅ 4 6⋅ 9⋅ 4 4⋅ 12⋅ 4 1⋅ 15⋅ 4 4⋅ 9⋅ 6 +

+ 13⋅ 12⋅ 6 14⋅ 15⋅ 610⋅ 18⋅ 6 5⋅ 12⋅ 8 10⋅ 15⋅ 8 8⋅ 18⋅ 8 6⋅ 21⋅ 8 +

+ 2⋅ 15⋅ 10 5⋅ 18⋅ 10 3⋅ 21⋅ 10 = 9804.

Вычисляем значение выборочного коэффициента корреляции

= 0,702.

100⋅ 3,954⋅ 2,016

Находим искомое уравнение прямой линии регрессии Y на X

y x− 6,46 0,702

2,016

3,954

x− 14,31 ,

или окончательно

y x = 0,358x – 1,337.

49

rв

∑ n xy xy− n⋅ x⋅ y

n x y

rв

9804− 100⋅14,31⋅ 6,46