1.7. Минимизация фал методом карт Вейча-Карно

Упрощение уравнений ФАЛ с помощью теорем алгебры логики основывается на интуитивных решениях и представляет большие трудности, особенно при большом числе переменных. При этом бывает трудно оценить, является ли полученное уравнение простейшим или возможны дальнейшие упрощения.

Минимизацию логических функций можно провести, используя метод карт Вейча-Карно. Карта Вейча-Карно для четырех переменных Х3,Х2,Х1,Х0 представлена на рис. 6. Каждая из переменных принимает два значения и, т.е. возможны 2⁴=16 комбинаций входных переменных. Карта состоит из четырех строк и четырех столбцов и содержит 16 клеток, каждая из которых соответствует одной из 16 возможных комбинаций. На полях карты обозначены значения каждой переменной.

	X1
X0
					X2
		X3

Рис. 6. Карта Вейча-Карно для четырех переменных

Рассмотрим минимизацию логической функции на примере ФАЛ из заданной таблицы истинности (табл. 5). Заполненная карта представлена на рис. 7.

Рис. 7. Карта Вейча-Карно, заполненная значениями ФАЛ из табл. 5

Теперь следует произвести «склейку» клеток, значения ФАЛ в которых равны «1». Можно склеить (т. е. объединить, как показано на рис. 7) целую заполненную строку, целый столбец, полстроки или полстолбца. Можно склеить соседние строки, столбцы, полустроки и полустолбцы. Склейки можно располагать через границы карты, то есть объединяя нижний и верхний, правый и левый края. Одна склейка может накладываться на другую. Склейки содержат 2^kклеток - 2, 4, 8 и т.д. Для успешной минимизации нужно расположить на карте минимальное количество склеек, каждая из которых содержит наибольшее количество клеток.

Расшифровка склеек. Каждая склейка представлена в виде элементарного логического произведения переменных, значения которых в выделенной области не изменяются. В нашем примере получилось три склейки по два значения и две по одному значению, следовательно, полученная при минимизации функция алгебры логики будет содержать три элементарных логических произведения из трёх сомножителей и два – из четырёх. Запишем полученную МДНФ (минимальную дизъюнктивно нормальную функцию):

. (1.3)

Процедура минимизации функций с помощью карт Вейча-Карно очень проста, и ее использование заменяет путь сложных преобразований с помощью теорем. Однако, после минимизации с помощью карты, можно провести дополнительные преобразования с помощью теорем алгебры логики. Наиболее простое преобразование – вынесение за скобки. Запишем полученную МДНФ, вынося за скобки подобные члены произведений:

. (1.4)

Как видно из полученного выражения для Y, реализация логического автомата по МДНФ будет гораздо проще. При построении схемы следует соблюдать принятый порядок действий. Сначала выполняются инверсии, затем действия в скобках (сначала логическое умножение, затем сложение), затем умножение и сложение за пределами скобок.

Взадании к курсовой работе встречается не полностью определённая ФАЛ. При минимизации такой функции допустимо произвольно задаваться ее значениями при условных наборах переменных, на которых функция не определена. Основная задача минимизации частично определенных функций заключается в отыскании оптимального варианта доопределения, позволяющего получить минимальную из всех возможных МДНФ. Пример минимизации такой ФАЛ представлен на рис. 8.

Рис 8. Карта для не полностью определенной функции четырех переменных

На карте Карно (рис. 8) условные наборы переменных отмечены знаком «*». При минимизации функции следует задавать такие значения условных наборов переменных, при которых клетки со значением 1 охватываются минимальным числом областей с максимальным числом клеток в каждой из них.

Для рассматриваемого примера результатом минимизации будет функция:

.