1.4. Принцип двойственности

Из сравнения таблиц истинности для логических операций ИЛИ и И (табл. 2 и табл. 3) легко заметить, что если в операции И значения всех переменных и самой функции заменить их инверсиями, а знак логического умножения – знаком логического сложения, получим логическую операцию ИЛИ:

если , то;

если , то.

Это свойство взаимного преобразования операций логического сложения и умножения носит название принципа двойственности. Практическим следствием принципа двойственности является то, что при реализации логических схем можно обойтись только двумя типами логических операций: И-НЕ (штрих Шеффера) или ИЛИ-НЕ (стрелка Пирса).

Условные графические обозначения логических элементов, реализующих логические операции «штрих Шеффера» и «стрелка Пирса» представлены на рис. 2.

Рис. 2.Условные графические обозначения логических элементов ИЛИ-НЕ, И-НЕ

Пример реализации логических функций И, ИЛИ, НЕ на элементах ИЛИ-НЕ представлен на рис. 3, на элементах И-НЕ – на рис. 4.

Рис. 3. Реализация логических функций НЕ, И, ИЛИ на элементах ИЛИ-НЕ
Рис. 4. Реализация логических функций НЕ, ИЛИ, И на элементах И-НЕ

1.5. Теоремы алгебры логики

Теоремы алгебры логики отражают связи, существующие между операциями, выполняемыми над логическими переменными. Операции подчиняются принципу двойственности, поэтому в таблице 6 представлены теоремы алгебры логики, сгруппированные по принципу двойственности.

Таблица 6

Теоремы алгебры логики

№	Для конъюнкции	Для дизъюнкции
1	Х+0=Х	Х1=Х
2	Х+1=1	Х0=0
3	Х+Х=Х	ХХ=Х
4
5
6	Х1+Х0=Х0+Х1	Х1Х0=Х0Х1
7	(Х2+Х1)+Х0=Х2+(Х1+Х0)	(Х2Х1)Х0=Х2(Х1Х0)
8
9	Х1Х0+Х0=Х0	(Х1+Х0)Х0=Х0
10	Х2Х1+Х0=(Х1+Х0)(Х2+Х0)	(Х2+Х1)Х0=Х2Х0+Х1Х0
11
12

Выражения: 8 – теорема Де-Моргана; 9 – теорема поглощения; 12 – теорема склеивания.

Порядок действий в алгебре логики следующий: сначала выполняется операция НЕ, затемИ, затемИЛИ. Как и в обычной алгебре, для изменения порядка действий используются скобки.

Теоремы алгебры логики полезно запомнить. Используя теоремы, можно упростить логические уравнения ФАЛ, при этом сводится к минимуму число логических элементов, необходимых для реализации.

1.6. Комбинационные логические устройства (логические автоматы)

Логические устройства, выходные функции которых однозначно определяются входными логическими функциями в тот же момент времени, называются комбинационными (логическими автоматами). Рассмотрим порядок построения комбинационного логического устройства с использованием логических элементов. Пусть исходными данными для построения логического автомата будет ДНФ (1.1).

.

В соответствии с принятым в алгебре логики порядком действий, сначала необходимо выполнить операцию НЕ. Выполнение этой операции производится формированием шин сигналов идля всех входных переменных. Затем выполняется логическое умножение И, для которого потребуется 7 логических элементов 4И. Затем выполняется логическое сложение ИЛИ на одном элементе 7ИЛИ. Схема логического автомата представлена на рис. 5. Такая схема называется структурной схемой, потому что выполнена на логических элементах без учёта реальных типов микросхем.

Рис. 5. Структурная схема логического автомата

Аналогичную структурную схему можно составить и по КНФ (1.2). Очевидно, что структурная схема, составленная по ДНФ или КНФ, не является оптимальной, так как содержит большое количество логических элементов. С целью упрощения схемы и уменьшения стоимости реализации используется минимизация ФАЛ логического автомата.