4. Частотная характеристика

При подаче на вход линейной системы гармонического (синусоидального) сигнала с частотой(она измеряется в радианах в секунду), на выходе будет также гармонический сигнал той же частоты, но другой амплитуды и фазы, где– амплитуда и– сдвиг фазы.

Частотная характеристика определяется как реакция системы на комплексный экспоненциальный сигнал . Для ее построения надо использовать подстановкув передаточной функции. Выражениеназываетсячастотной передаточной функциейилиамплитудно-фазовой частотной характеристикой системы(АФЧХ).

Зависимость модуля величины от частоты называетсяамплитудной частотной характеристикой(АЧХ), а зависимость аргумента комплексного числа (фазы)от частоты ­–фазовой частотной характеристикой(ФЧХ):

.

АЧХ показывает, насколько усиливается амплитуда сигналов разных частот после прохождения через систему, а ФЧХ характеризует сдвиг фазы сигнала.

Рис.2. АЧХ

Реальные объекты имеют строго правильную передаточную функцию, поэтому их АЧХ убывает с ростом частоты и асимптотически стремится к нулю. Говорят, что такой объект обладает свойством фильтра– фильтрует (не пропускает) высокочастотные сигналы (помехи, шумы измерений). Это свойство служит основой для использования метода гармонического баланса.

Частота, после которой значение АЧХ уменьшается ниже 0 дБ (коэффициент усиления меньше 1, сигнал ослабляется), называется частотой срезасистемы. Частота, после которой значение АЧХ падает ниже -3 дБ (коэффициент усиления меньше, чем 0.708), называетсяполосой пропусканиясистемы. Для ее вычисления используют команду

____________________________________________________________________________

>> b = bandwidth ( f )

____________________________________________________________________________

Максимум АЧХ соответствует частоте, на которой усиление наибольшее. Значение АЧХ при равно усилению при постоянном сигнале, то есть, статическому коэффициенту усиления. Это следует и из равенства

.

Для систем с интегрирующими звеньями частотная характеристика стремится к бесконечности при . Это значит, что их выход бесконечно увеличивается или уменьшается при постоянном входном сигнале.

Чтобы построить частотные характеристики в Matlab,надо сначала создать массив частот в нужном диапазоне. Для этого можно использовать функцииlinspace(равномерное распределение точек по линейной шкале) иlogspace(равномерное распределение точек по логарифмической шкале). Команда

____________________________________________________________________________

>> w = linspace (0, 10, 100);

_________________________________________________________________________________

строит массив из 100 точек с равномерным шагом в интервале от 0 до 10, а команда

____________________________________________________________________________

>> w = logspace (-1, 2, 100);

____________________________________________________________________________

– массив из 100 точек с равномерным шагом по логарифмической шкале в интервале от до.

Частотная характеристика на сетке wдля линейной моделиf (заданной как передаточная функция, модель в пространстве состояний или в форме «нули-полюса») вычисляется с помощью функцииfreqresp:

____________________________________________________________________________

>> r = freqresp(f, w);

____________________________________________________________________________

Функция freqresp возвращает трехмерный массив. Это связано с тем, что она применима и для многомерных моделей (с несколькими входами и выходами), передаточная функция которых представляет собой матрицу. Первые два индекса обозначают строку и столбец в этой матрице, а третий – номер точки частотной характеристики. Для системы с одним входом и одним выходом удобно преобразовать трехмерный массив в одномерный командой

____________________________________________________________________________

>> r=r(:);

____________________________________________________________________________

Для вывода графика АЧХ на экран можно использовать команды Matlab

____________________________________________________________________________

>> plot ( w, abs(r) );

>> semilogx ( w, abs(r) );

>> loglog ( w, abs(r) );

____________________________________________________________________________

В первом случае масштаб обеих осей координат – линейный, во втором случае используется логарифмический масштаб по оси абсцисс (частот), в последнем ­– логарифмический масштаб по обеим осям. Для вычисления фазы (в градусах) используется команда

____________________________________________________________________________

>> phi = angle(r)*180/pi;

____________________________________________________________________________

после чего можно строить ФЧХ, например:

____________________________________________________________________________

>> semilogx ( w, phi );

____________________________________________________________________________