механики-полн(часть1)
.pdf
21
В соответствии с этим
v = dSdt = 4t + 4,
a = d2S = 4м / с2 . dt2
Тогда
(3)
(4)
F = m d2S =4m. dt2
Из выражения (3) находим
dS=(4t+4)dt.
Подставляя (5) и (6) в уравнение (1), получим:
(5)
(6)
A = ò4m(4t + 4)dt .
По этой формуле вычислим работу, совершаемую силой за 10 с с начала ее действия.
10 |
|
16t2 |
|
|
|
10 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
A = ò(16mt +16m)dt = m |
+16t |
|
|
|
1(8×100 +16 ×10)Дж = 960(Дж) |
. |
|||||
0 |
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
mv2 |
|
|||||
|
|
|
|
T= |
|
|
|
|
|
. |
(7) |
Подставляя (3) в (7), имеем |
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
T = |
m(4t + 4)2 |
|
= m(8t2 +16t + 8). |
|
||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: А=960 Дж; |
T = m(8t2 + 16t + 8) . |
|
|||||||||
Пример 5. Какую работу нужно совершить, чтобы пружину жесткостью k=600 Н/м, растянутую на х=4 см, дополнительно растянуть на х=10 см?
Решение: 1 способ. Работа, совершенная при растяжении пружины, равна изменению ее потенциальной энергии:
А=П2-П1= |
k(x + Dx)2 |
- |
kx |
2 |
= |
k(2x + Dx)Dx |
. |
2 |
2 |
|
2 |
||||
Вычислим значение работы: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
А= 6 ×102 (2 × 4 ×10−2 + 10 ×10−2 ) ×10 ×10−2 = 5,4(Дж). 2
Анализ размерности:
[A]= [k][x + Dx][Dx]= Нм (м + м) × м = Н × м = Дж .
2 способ.
При деформации пружины в ней возникает упругая сила, определяемая по закону Гука:
Fупр.=-kx,
где k - коэффициент жесткости; х - абсолютное удлинение пружины.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
22
По 3-ему закону Ньютона упругая сила Fупр.=-F,
где F - внешняя сжимающая пружину сила, Н. Тогда F=kx.
Сила F изменяется пропорционально х. Выбирая бесконечно малую величину деформации пружины dx, можно считать силу F постоянной.
Тогда элементарная работа, совершаемая силой F при сжатии пружины на dx равна: dA=Fdx.
Полная работа А, совершаемая при сжатии пружины от х до х+Dх, определяется по формуле:
x + |
x |
х+ |
x |
|
kx |
2 х+ x |
|
A = òdA = ò |
Fdx = |
ò |
|
kxdx = |
|
или |
|
|
2 |
|
|||||
x |
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
A = k2 [(х + Dx)2 - x2 ]= k2 (2х + Dx)Dx .
Формула для работы имеет такой же вид, как и формула, полученная способом 1.
Пример 6. Маховик массой 4 кг свободно вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр, с частотой 720 мин-1. Массу маховика можно считать распределенной по его ободу радиусом 40 см. Через 30 с под действием тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий момент и число оборотов, которое делает маховик до полной остановки.
Решение: Для определения тормозящего момента М нужно применить основное уравнение динамики вращательного движения:
IDw=MDt, (1)
где I - момент инерции маховика относительно оси, проходящей через центр масс, кг×м2;
Dw - изменение угловой скорости за промежуток времени Dt, с-1; М - тормозящий момент сил, действующих на тело, Н×м.
По условию задачи Dw=-w0,
где w0 - начальная угловая скорость, т.к. конечная угловая скорость w=0. Выразим начальную угловую скорость через частоту вращения маховика, тогда w0=2pn. Момент инерции маховика I=mR2,
где m - масса маховика, кг; R - его радиус, м.
Тогда формула (1) примет вид:
Отсюда |
|
-mR2 2pn = M Dt, |
|
|
|||
|
|
|
2pnmR 2 |
|
|
|
|
|
|
M = - |
, |
|
|||
|
|
Dt |
|
||||
|
2 ×3,14 ×12c−1 |
|
|
|
|||
|
× 4кг ×0,16м2 |
||||||
M = - |
|
|
|
|
|
|
= -1,61 Н ×м . |
|
30с |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
Угол поворота (угловой путь) за время вращения маховика до остановки может быть |
|||||||
определен по формуле для равнозамедленного вращения |
|
|
|||||
где e - угловое ускорение, с-2. |
j= w0 Dt-e Dt/ 2, |
(2) |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
По условию задачи, w=w0 -e Dt; |
|
|
w=0; e Dt=w0. |
||||
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда выражение (2) может быть записано так: |
|
|
|
||||||||||||
|
j= w0 Dt-w0 Dt/ 2=w0 Dt/ 2 . |
(3) |
|||||||||||||
Так как j=2pN, w0=2pn, то число полных оборотов |
|
|
|
||||||||||||
|
N = |
nDt |
|
= |
12с−1 |
× 30с |
=180 . |
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
Проверим размерность: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
[M]= |
[n][m][R2 |
] |
|
с−1 × кг × м2 |
|
кг × м × м |
= Н × м . |
||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||
[Dt] |
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
с2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
[N]= [n]×[Dt]= с−1 × с =1.
Пример 7. Тонкий стержень массой 300 г и длиной 50 см вращается с угловой скоростью 10 с-1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Найти угловую скорость, если в процессе вращения в той же плоскости стержень переместится так, что ось вращения пройдет через конец стержня.
Решение: Для решения задачи воспользуемся законом сохранения момента импульса (момента количества движения):
n |
r |
|
åIiwiconst , |
(1) |
|
i=1
где Ii - момент инерции стержня относительно оси вращения, кг×м2.
Для изолированной системы тел момент импульса остается постоянным. В данной задаче распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется, поэтому
момент инерции стержня относительно оси вращения также изменяется. |
|
|||
В соответствии с формулой (1) запишем |
|
|
||
I0w1 = I2w2, |
|
(2) |
||
где w1 и w2 - угловые скорости вращения диска в начальном и конечном положениях |
||||
оси вращения, с-1; |
|
|
||
I0 - момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс |
||||
перпендикулярно стержню: |
|
|
||
I0 = |
1 |
ml2 |
, |
(3) |
|
||||
12 |
|
|
|
|
где l - длина стержня, м; m - его масса, кг; I2 - момент инерции стержня относительно оси, проходящей через конец стержня, кг×м2.
По теореме Штейнера
I2 = I0+md2,
где d - расстояние от центра масс до выбранной оси вращения, м.
Найдем момент инерции стержня относительно оси, проходящей через конец стержня и перпендикулярно стержню:
I2 = |
|
1 |
ml2 + |
ml2 |
= |
ml2 |
. |
(4) |
12 |
|
|
||||||
|
4 |
3 |
|
|
||||
Подставим выражения (3) и (4) в формулу (2):
ml2 w = ml2 w 12 1 3 2 .
Откуда
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
|
24 |
|
|
||
w2 |
= |
ω1 |
. |
(5) |
|
4 |
|||||
|
|
|
|
||
Выполним расчеты: w2 = 10c4−1 = 2,5c−1 .
Ответ: ω2=2,5 с-1.
Пример 8. Вычислить работу А сил гравитационного поля Земли при перемещении тела массой m=10 кг из точки 1 в точку 2. Радиус R Земли и ускорение свободного падения g вблизи поверхности Земли считать известными.
O |
2 |
1 |
R |
R |
R |
Рисунок 2 - Перемещение тела вблизи
поверхности Земли
равенством
Решение: Так как силы системы - гравитационные - относятся к силам консервативным, то работа А сил поля
совершается за счет убыли потенциальной энергии П, т.е.
А=- П=П1-П2, |
(1) |
где П1 и П2 - потенциальные энергии системы тело - Земля в начальном и конечном ее состояниях, соответственно.
Принято считать, что потенциальная
энергия взаимодействия тела и Земли равна нулю, когда тело находится на бесконечно большом расстоянии от Земли, тогда на расстоянии r потенциальная энергия выразится
P = -G mMr ,
где М - масса Земли, G - гравитационная постоянная, m - масса тела.
Для расстояний r1=3R и r2=2R, заданных в условии задачи (см. рисунок 2), получим два выражения потенциальной энергии:
P1 |
= -G |
mM |
и P2 |
= -G |
mM |
. |
3r |
|
|||||
|
|
|
|
2r |
||
Подставив эти выражения П1 и П2 в формулу (1), получим
А= - G |
mM |
æ |
- G |
mM ö |
1 |
G |
mM |
|
|
|
- ç |
|
÷ = |
|
|
. |
|||
3r |
|
6 |
r |
||||||
|
è |
|
2r ø |
|
|
||||
Из закона всемирного тяготения следует, что на поверхности Земли
G mM = mg , R2
откуда GM=gR2.
C учетом формулы (3) преобразуем выражение (2) к виду
(2)
(3)
А= |
1 |
mgR . |
(4) |
|
6 |
||||
|
|
|
Подставив значения m, g и R в это выражение и произведя вычисления, найдем:
А=10 × 9,8 × 6,37 ×106 =104 ×106 (Дж) =1,04 ×108 (Дж) . 6
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
25
Анализ размерности: [A]=[m][g][R]=кг× м × м = Дж .
с2
Пример 9. Материальная точка массой 20 г совершает гармонические колебания с периодом 9 с. Начальная фаза колебания 10о. Через сколько времени от начала движения смещение точки достигнет половины амплитуды? Найти амплитуду, максимальные скорость и ускорение точки, если полная энергия ее равна 10-2Дж.
Решение: Уравнение гармонического колебательного движения
х=Аsin(wt+j0) или х=Asin(2pt/T+j0), (1)
где х - смещение точки относительно положения равновесия; А - амплитуда колебания; w=2p/T - циклическая частота; Т - период колебания; t - время колебания; j0 - начальная фаза колебания.
Из уравнения (1) можно определить время колебания
t = arcsin(x / A) − ϕ0 T
,
2p
t = arcsin 0.5 - p/18 9 = p6 - 18p 9 = 0.5c . 2p 2p
Из формулы полной энергии колеблющейся точки E=mA2w2/2 определим амплитуду ее колебаний:
|
|
A = |
1 |
|
|
|
|
2E |
|
= |
T |
|
|
2E |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
w |
|
|
|
2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Анализ размерности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
||||||||||
[E] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= с |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= с |
кг × м2 |
|
|
|
м2 |
|
|
с × м |
|
||||||||||||||||
[A]= [T]× |
= c |
|
Дж |
|
= |
= м . |
||||||||||||||||||||||||||||
[m] |
|
|
кг |
с2 × кг |
|
с2 |
с |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
А = |
|
9 |
|
|
|
|
2 |
×10−2 |
|
=1,43(м) . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
× 3,14 |
2 |
×10−2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Зная амплитуду, можно вычислить максимальную скорость точки, которая определяется как первая производная ее смещения по времени:
v = dxdt = Awcos(wt + j0 ) .
Полагая cos(ωt + ϕ0 ) =1, получаем
vmax=Aw=A×2p/T,
vmax = 1,43м×2×3,14/9с=1м/с.
Ускорение точки определяется как первая производная от скорости по времени: a = dvdt = -Aw2 sin(wt + j0 ).
Полагая, что sin(ωt + ϕ0 ) = −1, получаем
аmax=Aw2=A×(2p/T)2. amax=1.43м×4×3.142/81с2=0,696м/с2.
Ответ: t=0,5c, A=1,43м, vmax=1м/с, amax= 0,696м/с2.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
26
Пример 10. Колеблющиеся точки, находящиеся на одном луче, удаленные от источника колебания на 6 и 8,7м, колеблются с разностью фаз 3/4π. Период колебаний источника 10-2с. Чему равна длина волны и скорость распространения колебаний в данной среде? Составить уравнение волны для первой и второй точек, считая амплитуды колебаний точек равными.
Решение: Из уравнения волны по разности фаз Δϕ и расстоянию l между источниками
можно определить λ. В соответствие с уравнением волны: |
|
||
|
|
x=Asinω(t-l/v) |
(1) |
или |
x=Asin 2π(t/T - l/λ), |
(2) |
|
где х - смещение колеблющейся точки, t - время колебания, ω - циклическая частота, l - |
|||
расстояние колеблющейся точки от вибратора. |
|
|
|
В уравнении (2) выражение 2π(t/T - l/λ) является фазой колебаний. Запишем фазы для |
|||
каждой из точек: |
|
|
|
ϕ1 = 2π (t/T - l1/λ), |
ϕ2 = 2π (t/T - l2/λ). |
|
|
Тогда разность фаз Δϕ=ϕ1-ϕ2=2π[(l2-l1)/λ], откуда
l = 2p(l2 - l1) ,
Dj
l = 2 ×3.14(8.7м - 6м) = 7.2м . 3/ 4 ×3.14
Скорость распространения волны находим из формулы v=λ/T,
v = 7,2м / 10-2с = 720 м/с.
Циклическая частота определяется из соотношения: ω=2π / Т = 2π/ 10-2с = 200π с-1.
Подставляя числовые значения в уравнение (1) получаем уравнения волны, отображающие колебания первой и второй точек:
х1 = 0,5sin200π(t-6/720), х2 = 0,5sin200π(t-8,7/720).
Ответ: λ=7,2м; v = 720 м/с; х1 = 0,5sin200π(t-6/720); х2 = 0,5sin200π(t-8,7/720)
Таблица вариантов
Вариант |
|
|
|
Номера задач |
|
|
|
|
|
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
1 |
1 |
11 |
21 |
31 |
41 |
51 |
61 |
71 |
81 |
2 |
2 |
12 |
22 |
32 |
42 |
52 |
62 |
72 |
82 |
3 |
3 |
13 |
23 |
33 |
43 |
53 |
63 |
73 |
83 |
4 |
4 |
14 |
24 |
34 |
44 |
54 |
64 |
74 |
84 |
5 |
5 |
15 |
25 |
35 |
45 |
55 |
65 |
75 |
85 |
6 |
6 |
16 |
26 |
36 |
46 |
56 |
66 |
76 |
86 |
7 |
7 |
17 |
27 |
37 |
47 |
57 |
67 |
77 |
87 |
8 |
8 |
18 |
28 |
38 |
48 |
58 |
68 |
78 |
88 |
9 |
9 |
19 |
29 |
39 |
49 |
59 |
69 |
79 |
89 |
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
1. Движение материальной точки, перемещающейся по прямой, задано уравнением (единицы СИ) S=4t3+2t+1. Найти в интервале времени, начиная от 1 с до 2 с: мгновенные
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
27
скорости в начале и в конце интервала; среднюю скорость движения; мгновенное ускорение
вначале и в конце заданного интервала времени.
2.За время t тело прошло путь S, причем его скорость увеличилась в n раз. Считая движение тела равноускоренным с начальной скоростью, не равной нулю, определить ускорение тела.
3.Тело, двигаясь равноускоренно, за пятую секунду от начала движения, проходит 45,5 м. Определить модуль перемещения тела за 5 секунд и его скорость в конце пятой секунды.
4.Две материальные точки движутся согласно уравнениям x1=A1t+B1t2+C1t3 и x2=A2t+B2t2+C2t3, где А1=4 м/с; В1=8 м/с2; С1=-16 м/с3; А2=2 м/с; В2=-4 м/с2; С2=1 м/с3. В какой момент времени t ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости v1 и v2 в этот
момент.
5. Уравнение движения материальной точки вдоль оси x имеет вид x=A+Bt+Ct3, где А=2 м, В=1 м/с, С=-0,5 м/с3. Найти координату x, скорость v и ускорение a точки в момент времени t=2 с.
6. Движение материальной точки задано уравнением x=At+Bt2, где А=4 м/с; В=- 0,05 м/с2. Определить момент времени, в который скорость v точки равна нулю. Найти координату и ускорение в этот момент. Построить графики зависимости координаты, пути, скорости и ускорения этого движения от времени.
7.Три четверти своего пути автомобиль прошел со скоростью v1=60 км/ч, остальную часть пути - со скоростью v2=80 км/ч. Какова средняя путевая скорость <v> автомобиля?
8.Первую четверть пути мотоциклист проехал со скоростью v1=10 м/с, вторую - со скоростью v2=15 м/с, третью - со скоростью v3=20 м/с и последнюю - со скоростью v4=5 м/с. Определить среднюю скорость мотоциклиста на всем участке пути.
9.Моторная лодка плывет из одного пункта в другой и обратно. Во сколько раз время движения лодки против течения больше времени движения по течению, если скорость течения v1=2 м/с, а скорость лодки в стоячей воде v2=10 м/с?
10.Определить скорость моторной лодки в стоячей воде, если при движении по течению реки ее скорость 10 м/с, а при движении против течения – 6 м/с. Чему равна скорость течения воды в реке?
11.Под каким углом к горизонту брошено тело, если известно, что максимальная высота подъема равна 1/4 части дальности полета? Сопротивление воздуха не учитывать.
12.Тяжелое тело брошено вверх с высоты 12 м под углом 30о к горизонту с начальной скоростью 12 м/с. Определить продолжительность полета тела до падения; максимальную высоту, которой оно достигнет, и дальность полета тела. Сопротивление воздуха не учитывать.
13.Тяжелое тело брошено вверх с высоты 12 м под углом 30о к горизонту с начальной скоростью 12 м/с. Определить в момент приземления тела следующие величины: скорость и угол падения тела, тангенциальное и нормальное ускорения тела и радиус кривизны траектории.
14.Под каким углом к горизонту надо бросить тело со скоростью 20 м/с, чтобы дальность полета была в 4 раза больше наибольшей высоты подъема? Определить радиус кривизны траектории в верхней точке.
15.Чтобы остановить вращающийся маховик, к нему прижали тормозящую колодку. С этого момента времени он стал вращаться равнозамедленно с ускорением 20 рад/c2. Сколько потребуется времени для остановки маховика, если он вращался со скоростью 360 об/мин? Через сколько оборотов он остановится?
16.Точка обращается по окружности радиусом R=8 м. В некоторый момент времени
нормальное ускорение аn точки равно 4 м/с2, вектор полного ускорения a образует в этот
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
28
момент с вектором нормального ускорения a n угол α=60о. Найти скорость v и тангенциальное ускорение аτ точки.
17.Определить полное ускорение "а" в момент времени t=3 с точки, находящейся на ободе колеса радиусом R=0.5 м, вращающегося согласно уравнению: ϕ =Аt+Bt3, где А=2 рад/с, В=0.2 рад/c3.
18.Диск радиусом R=0,2 м вращается согласно уравнению: ϕ =A+Bt+Ct3, где А=3 рад, В=-1 рад/с, С=0,1 рад/c3. Определить тангенциальное аτ, нормальное аn и полное "а" ускорения точек на окружности диска в момент времени t=10 с.
19.Найти угловое ускорение ε колеса, если известно, что через время t=2 с после начала движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе, составляет угол
α=60о с вектором ее линейной скорости.
20.Точка движется по окружности радиусом R=10 см с постоянным тангенциальным
ускорением аτ. Найти нормальное ускорение аn точки через время t=20 с после начала движения, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки v=10 см/с.
21.К динамометру прикреплен блок, через который переброшен нерастяжимый шнур.
Кконцам шнура привязаны грузы массами m1=1 кг и m2=2 кг. Каково будет показание динамометра при движении грузов? Массой блока и шнура пренебречь.
22.Определить коэффициент трения между наклонной плоскостью и движущимся по
ней телом, если известно, что это тело, имея начальную скорость 5 м/с и двигаясь вверх по наклонной плоскости, проходит путь 2 м. Угол наклона плоскости 30о.
23.Шар на нити подвешен к потолку трамвайного вагона. Вагон тормозится и его
скорость за время t=3 с равномерно уменьшается от v1=18 км/ч до v2=6 км/ч. На какой угол отклонится при этом нить с шаром?
24.На автомобиль массой m=1 т во время движения действует сила трения Fтр, равная 0,1 действующей на него силе тяжести mg. Какова должна быть сила тяги F, развиваемая мотором автомобиля, если автомобиль движется с ускорением а=1 м/с2 в гору с уклоном 1 м на каждые 25 м пути.
25.Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α=45о. Зависимость пройденного пути s от времени t дается уравнением s=Ct2, где С=1,73 м/c2. Найти коэффициент трения k тела о плоскость.
26.Невесомый блок укреплен на конце стола. Два тела 1 и 2 одинаковой массы
m1=m2=1 кг соединены нитью, перекинутой через блок. Коэффициент трения тела 2 о стол равен k=0,1. Найти ускорение "а", с которым движутся тела, и силу натяжения нити Т. Трением в блоке пренебречь.
27.Невесомый блок укреплен в вершине наклонной плоскости, составляющей с
горизонтом угол α=30о. Два тела 1 и 2 одинаковой массы m1=m2=1 кг соединены нитью, перекинутой через блок. Коэффициент трения тела 2 о стол k=0,1. Найти ускорение "а", с которым движутся тела, и силу натяжения нити Т. Трением в блоке пренебречь.
28.Груз массой m=45 кг вращается на канате длиной l=5 м в горизонтальной плоскости, совершая n=16 об/мин. Какой угол α с вертикалью образует канат и какова сила его натяжения? Какова скорость вращения груза?
29.Гирька, привязанная к нити длиной l=30 см, описывает в горизонтальной плоскости окружность радиусом R=15 см. С какой частотой n вращается гирька?
30.К потолку трамвайного вагона подвешен на нити шар. Вагон идет со скоростью
v=9 км/ч по закруглению радиусом R=36,4 м. На какой угол α отклонится при этом нить с шаром?
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
29
31.На подножку вагонетки, которая движется прямолинейно со скоростью v1=2 м/с, прыгает человек массой m2=60 кг со скоростью 1 м/с в направлении, перпендикулярном к ходу вагонетки. Масса вагонетки m1=240 кг. Определить скорость вагонетки с человеком.
32.Определить импульс, полученный стенкой при ударе о нее шарика, массой m=300 г,
если шарик двигался со скоростью v=8 м/с под углом α=60о к плоскости стенки. Удар о стенку считать упругим.
33. При горизонтальном полете со скоростью v=250 м/с снаряд массой m=8 кг разорвался на две части. Большая часть массой m1=6 кг получила скорость u1=400 м/с в направлении полета снаряда. Определить абсолютное значение и направление скорости u2
меньшей части снаряда.
34.Человек массой m1=70 кг, бегущий со скоростью v1=9 км/ч, догоняет тележку массой m2=190 кг, движущуюся со скоростью v2=3,6 км/ч, и вскакивает на нее. С какой скоростью будет двигаться тележка с человеком, если человек до прыжка бежал навстречу тележке?
35.Лодка длиной l=3 м и массой m=120 кг стоит на спокойной воде. На носу и корме
находятся два рыбака массами m1=60 кг и m2=90 кг. На сколько сдвинется лодка относительно воды, если рыбаки поменяются местами?
36.Лодка стоит неподвижно в стоячей воде. Человек, находящийся в лодке, переходит
сноса на корму. На какое расстояние переместится лодка, если масса человека m1=60 кг, масса лодки m2=120 кг, длина лодки l=3 м? Сопротивление воды не учитывать.
37.Снаряд, летевший со скоростью v=400 м/с, в верхней точке траектории разорвался на два осколка. Меньший осколок, масса которого составляет 40% от массы снаряда,
полетел в противоположном направлении со скоростью u1=150 м/с. Определить скорость u2 большего осколка.
38.Охотник стреляет с лодки. Какую скорость приобретает лодка в момент выстрела, если масса охотника с лодкой М=100 кг, масса дроби m=40 г и средняя начальная скорость
дроби v0=400 м/с? Ствол ружья во время выстрела направлен под углом α=60о к горизонту. 39. В подвешенный на нити длиной l=1,8 м деревянный шар массой m1=8 кг попадает
горизонтально летящая пуля массой m2=4 г. С какой скоростью летела пуля, если нить с шаром и застрявшей в нем пулей отклонилась от вертикали на угол α=3о? Размером шара пренебречь. Удар пули считать прямым, центральным.
40.По небольшому куску мягкого железа, лежащему на наковальне массой m1=300 кг, ударяет молот массой m2=8 кг. Определить КПД η удара, если удар неупругий. Полезной считать энергию, пошедшую на деформацию куска железа.
41.Определить КПД η неупругого удара бойка массой m1=0,5 т, падающего на сваю массой m2=120 кг. Полезной считать энергию, пошедшую на углубление сваи.
42.Определить мощность двигателя шахтной клети, поднимающего из шахты глубиной H=200 м груз массой m=10 т за t=60 с, если КПД двигателя равен η=80%.
43.Найти работу, совершаемую при подъеме груза массой m=10 кг по наклонной
плоскости с углом наклона α=45о на расстояние s=2 м, если время подъема t=2 с, а коэффициент трения k=0,1.
44.Какую работу совершают двигатели электропоезда на пути S=100 м при разгоне с ускорением a=1,5 м/с2 вверх по уклону с углом наклона α=10о, если масса электропоезда m=120 т, а коэффициент трения μ=0,05?
45.Из ствола автоматического пистолета вылетела пуля массой m1=10 г со скоростью v=300 м/с. Затвор пистолета массой m2=200 г прижимается к стволу пружиной, жесткость которой k=25 кН/м. На какое расстояние отойдет затвор после выстрела?
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
30
46.Пружина жесткостью k=500 Н/м сжата силой F=100 Н. Определить работу А внешней силы, дополнительно сжимающей эту пружину еще на Dl=2 см.
47.Какую нужно совершить работу А, чтобы пружину жесткостью k=800 Н/м, сжатую
на х=6 см, дополнительно сжать на Dх=8 см?
48. Две пружины жесткостью k1=0,5 кН/м и k2=1 кН/м скреплены параллельно.
Определить потенциальную энергию П данной системы при абсолютной деформации
Dl=4 см.
49.Две пружины жесткостью k1=400 Н/м и k2=250 Н/м соединены последовательно. Под действием внешней силы первая пружина растянулась на Dl1=2 см. Определить работу растяжения 2-х этих пружин.
50.Из пружинного пистолета с жесткостью пружины k=150 Н/м был произведен выстрел пулей массой m=8 г. Определить скорость v пули при вылете ее из пистолета, если
пружина была сжата на Dх=4 см.
51.Маховик, представляющий собой диск массой m=10 кг и радиусом R=10 см, свободно вращается вокруг оси, которая проходит через центр, с частотой 6 с-1. При торможении маховик останавливается через t=5 с. Определить тормозящий момент.
52.На барабан радиусом R=10 см намотана нить, к концу которой привязан груз
массой m=0,5 кг. Найти момент инерции барабана, если груз опускается с ускорением а=1 м/с2.
53.Через блок, масса которого m=100 г, перекинута тонкая гибкая нерастяжимая нить,
кконцам которой подвешены два груза массами m1=200 г и m2=300 г. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Чему равно угловое ускорение блока, если его радиус 10 см? Трением пренебречь.
54.Маховик массой m1=1 кг укреплен на шкиве радиусом r=5 см и массой m2=200 г, который приводится во вращение с помощью опускающейся гири массой m3=500 г, привязанной к концу намотанной на шкив веревки. Через какое время частота вращения
маховика достигнет n=5 с-1? Считать, что вся масса маховика распределена по его ободу на расстоянии R=40 см от оси вращения.
55.Блок, имеющий форму диска массой m=0,4 кг, вращается под действием силы
натяжения нити, к концам которой подвешены грузы массами m1=0,3 кг и m2=0,7 кг. Определить силы Т1 и Т2 натяжения нити по обе стороны блока.
56.Нить с привязанными к ее концам грузами массой m1=50 г и m2=60 г перекинута через блок диаметром D=4 см. Определить момент инерции блока, если под действием силы
тяжести грузов он получил угловое ускорение e=1,5 рад/с2.
57.По касательной к шкиву маховика в виде диска диаметром D=75 см и массой m=40 кг приложена сила F=1 кН. Определить угловое ускорение e и частоту вращения n маховика через время t=10 с после начала действия силы, если радиус шкива равен r=12 см. Силой трения пренебречь.
58.Определить момент силы М, который необходимо приложить к блоку,
вращающемуся с частотой n=12 с-1, чтобы он остановился в течение времени Dt=8 c. Диаметр блока D=30 см. Массу блока m=6 кг считать равномерно распределенной по ободу.
59.Тонкостенный цилиндр с диаметром основания D=30 см и массой m=12 кг вращается согласно уравнению: j =А+Bt+Ct3, где А=4 рад, В=-2 рад/с, С=0,2 рад/с3. Определить действующий на цилиндр момент сил М в момент времени t=3 с.
60.Стержень вращается вокруг оси, проходящей через его середину согласно
уравнению: j =Аt+Bt3, где А=2 рад/с, В=0,2 рад/с3. Определить вращающийся момент М, действующий на стержень в момент времени t=2 с, если момент инерции стержня
J=0,048 кг×м2.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com