математика Раздел1 практика

Определитель 2 – го порядка

Произведение

Определитель 3 – го порядка,

элементов по главной

по правилу треугольника

диагонали

a

b

a d b c , поэтому для нашей задачи имеем:

c

d

3

2 4 3 ( 1) 8 3 11.

2

1

4

2

3

1

0

2

1

2 2 0 0 1 ( 1) 3 1 3 (3 2 ( 1) 1 1 2 0 3 0)

3

1

0

0

0

9

6

2

0

13

1

а)

1

2

3

4

,

x

xy

б)

1

y

,

в)

cos

sin

sin

cos

.

3

2

1

а)

2

5

3

3

4

2

,

2

3

1

б)

4

5

6

7

8

9

,

1

1

1

в)

1

2

3

а)

2x

3

3

0

x

5

2

,

б)

x

3

x

1

0

7

x

x

1

.

a11x1

a12x2

a13x3

b1

a 21x1

a 22x2

a 23x3

b2

(1.2.1)

a31x1

a32x2

a33x3

b3

a11

a12

a13

Обозначим через

a 21

a 22

a 23 – главный определитель системы.

x

x1

, x

x 2

,

x

x 3

(1.2.2)

1

2

3

b1

a12

a13

a11

b1

a13

a11

a12

b1

где x

1

b2

a22

a23

; x

2

a21

b2

a23

;

x

3

a 21

a 22

b2

.

b3

a32

a33

a31

b3

a33

a31

a32

b3

1

1

1

1

2

4

18+ 3 + 4 -2 -12 – 9= 2 0 .

1

3

9

х1 , х 2 ,

х 3 .

1

1

1

4

1

1

1

4

4

х1

4 2 4

4 ;

х 2

1 4

4

6 ;

х 3

1 2 4

-2 .

2

3

9

1

2

9

1

3

2

По формулам Крамера получаем:

х1

х1

4

2;

х2

х 2

6

3;

х3

х 3

2

1.

2

2

2

Таким образом, тройка чисел 2; 3;

1

является решением системы.

х1

х2 х3

1,

8х1

3х2

6х3

2,

4х1

х2

3х3

3.

Доказать ее совместность и решить

тремя способами методом Гаусса.

РЕШЕНИЕ: Решим систему уравнений методом Гаусса.

Первое уравнение системы умножим на ( 8) и сложим

х1

х2

х3

1,

со вторым уравнением, результат сложения запишем

вторым

уравнением в новой системе. Затем первое

8х1

3х2

6х3

2,

уравнение системы умножим на 4 и сложим с третьим

4х1

х2

3х3

3,

уравнением системы, результат запишем третьим

уравнением .

х1

х2

х3

1,

Умножим второе уравнение системы на 3, а третье

уравнение на ( 5) и сложим, результат запишем

5х2

2х3

6,

третьим уравнением эквивалентно преобразованной

3х2

х3

1,

системы.

х1

х2

х3

1,

х1

1

х2

х3 ,

1

5х2

2х3

6,

х2

( 6 2х3 ) ,

5

х3

13,

х3

13.

Ответ:

х1

8,

х2

4,

х3

13.

а)

x1

x2

4,

2x1

x2

5.

7x

8y

2.

a11 a12 a13 a1n

a21

a22 a23 a2n

или сокращенно A (aij ) , где i

1, m – номер строки,

A

am1 am2 am3 am n

j 1, n – номер столбца.

Сложение матриц

Умножение

Умножение матриц

Операция

сложения

матрицы на число

Операция

умножения

двух

матриц

вводится

Чтобы

умножить

матриц вводится только для

только

для

матриц

матрицу

на

число

случая,

когда

число

одинакового размера

необходимо каждый

столбцов

первой

матрицы

+

элемент

матрицы

равно

числу строк второй

умножить на это матрицы.

число

Минором

какого-либо

элемента

Алгебраическим дополнением

определителя

называется

элемента аi j называется его минор,

определитель,

полученный

из

взятый со знаком (–1)i + j

данного вычеркиванием той строки и

Aij

(

1)i j M ij

того столбца, которым принадлежит

Определитель

равен

сумме

данный элемент

произведений

элементов

любой

строки

(столбца)

на

их

алгебраические дополнения.

Минор элемента определител

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a21 A21 a22

A22 a23 A23 ,

a31

a32

a33

где

Aij —

алгебраические

дополнения элементов aij в данном

A

( 1)i j M

ij

, а

M

ij

— миноры, соответствующие элементам

a

ij

ij

;

;

;

.

1

1

1

х1

4

А = 1 2 4

;

Х = х2 ;

В = 4 .

1

3

9

х3

2

Тогда данную систему можно записать в виде:

АХ

В ,откуда

Х А 1В ,

где

А 1–

обратная матрица. Найдем

А 1,

зная, что

A11

A21

A31

А 1

=

1

A

A

A

,

где

А

-

алгебраические

дополнения

det A

12

22

32

ij

A13

A23

A33

элементов аij матрицы А.

Аij

( 1)i

j Mij ,

где

M ij - миноры элементов аij

матрицы А.

7

1

1

1

det A =

1

2

4

= 2 .

1

3

9

Так как det A

0 , то существует обратная матрица.

А11 =

(-1)1+1

4

18

2

6 ;

А12 =

-5 ;

А13

=

1 ;

2

3

9

А21

=

(-1)2+1

1

(9

3)

6 ;

А22

=

8;

А23

=

-2 ;

1

3

9

А31

=

(-1)3+1

1

4

2

2

А32

=

-3;

А33

=

1 ;

1

2

4

6

6

2

А-1 =

1

5

8

3

;

2

1

2

1

1

6

6

2

4

1

24

24

4

1

4

Х А 1В =

5 8

3

4

=

20 32

6

=

6 =

2

1

2

1

2

2

4

8

2

2

2

2

= 3 .

1

Таким образом ,

х1 = 2;

х2 = 3;

х3 = -1.

Проверим правильность

вычисления

обратной

матрицы,

используя

1

1

1

6

6

2

1

2

4

1

5

8

3

=

2

1

3

9

1

2

1

6

5

1

6

8

2

2

3

1

2

0

0

=

1

6

10 4

6 16 8

2 6 4

=

1

0

2 0

=

2

2

6

15

9

2

6

24

18

2

9

9

0

0

2

1

0

0

= 0

1

0

= Е .

0

0

1

Аналогично доказывается,

что

А-1 А = Е. Значит А-1,

найдена верно.

Ответ:

2;

3;

1 .

A

1

2

, B

0

1 .

3

4

1

2

а) A

1

2

,

3

4

1

2

0

б) A

3

5

7 .

x1

2x2

3x3

6,

а)

4x1

5x2

6x3

9,

7x1

8x2

6.

б)

x1

x2

1,

2x1

x2

7.

Тема 1.4 Векторы. Линейные операции над векторами. Координаты

вектора. Линейные операции над векторами в координатной форме.

Скалярное произведение векторов, и его приложения.

Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение

векторов.

Вектор - это

Сложение векторов

Проекция вектора на ось

В

правило

правило

В

ный

треугольника

параллелограмма

b

н

е

ок

Ра

вл

вные

а

трез

b

А

пр

векто

На

о

ра

a

е

a

ы

α

н

р

L

а

не

а

и

А

л

р

л

то

B1

Ко

ек

A1

в

Проекция вектора

на ось

Координаты

Скалярным

произведением

a

b

двух

ненулевых

векторов

a

и

вектора AB

(x 2

x1; y2

y1; z2

z1 )

b называется

число,

равное

произведению длин этих векторов на

Длина вектора

косинус угла между ними

AB

x2

x1

2

y2

y1

2

z2

z1

2

a

b

a b cos

,

(1.4.1)

где

– угол между векторами

и

или

a

X 2

Y 2

Z 2

b .

a

Скалярное

произведение

двух

векторов

в

координатной

форме

z

равно

сумме

произведений

B(x2; y2; z2)

соответствующих

координат

этих

векторов, т. е.

a

(

x

A(x1; y1; z1)

a

b =x1 x2+ y1

y2+ z1

z2, тогда

;

y

;

x1

x 2

y1 y2 z1 z 2

z

a b

)

y

cos

x 2 y2

z 2

x 2

y2

2

a b

z