Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет природообустройства

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

математика Раздел1 практика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.04.2015

Размер:

3.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

или

x y 1 0 .

Задания для решения:

	1.	Составить уравнения прямых, отсекающих на оси Оу отрезок b = 2 и
наклоненных				к		оси	Ох	соответственно	под	углами
1	300	,	2	450 ,	3	1350.
	2.	Уравнения				прямых:	3х – у + 2 = 0; 4х + 2у – 5 = 0;			2х + 7у = 0
привести к виду уравнений с угловыми коэффициентами.
	3.	Построить				прямые,		заданные	уравнениями:
x y 2 0, x y 5 0, 2 y 3 0, 4x 7 0, 3x 2 y 0.

4.Определить параметр b, при котором прямая у = 2х + b отсекает на оси Ox отрезок а = 3.

5.Дан треугольник с вершинами Р (–4, 0), Q (0, 4), R (2, 2). Написать уравнения его медиан.

6.Найти точку пересечения медиан треугольника с вершинами Р (2, 1),

Q (0, 7), R (–4, –1).

Тема 1.7 Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

Взаимное расположение прямых на плоскости.

Условие	Условие	Расстояние от точки до
параллельности	перпендикулярности	прямой
прямых l1 l2	прямых

A1 A2 B1 B2

A x0 B y0 C

A2 B2

|| l

, или

или k1

Угол между двумя прямыми

	l1		l2
	l1
tg		k2	k1
tg	1		k1 k2
	1		k1 k2

Образцы решения задач:

ПРИМЕР Найти угол между прямыми:

	y		2	x	3;	y		3	x		2	.
	y	5		x	3;	y	7		x	7		.
		5					7			7
РЕШЕНИЕ:
Подставляя в формулу tg											k2		k1	значения k1	2	, k		3	, получим
Подставляя в формулу tg										1 k1			k2	значения k1	5	, k	2	7	, получим
										1 k1			k2		5			7
		3			2		29
		7			5
		7			5		35						0
tg							29		1,				45 .
tg		2			3				1,				45 .
1		2			3
							35
		5			7
		5			7

ПРИМЕР Составить уравнение пучка прямых, проходящих через точку М (4, –5). Среди пучка прямых выбрать прямую, параллельную прямой

2х – 3у + 6 = 0, и прямую, перпендикулярную ей. РЕШЕНИЕ:

Так как координаты точки М		известны, т.е. x1 4, y1		5, то
воспользовавшись уравнением y	y0	k (x	x0 ) , получим
y	5	k (x	4) ,

где k может принимать любые действительные значения. Данное уравнение является уравнением пучка прямых, проходящих через точку М. При каждом фиксированном значении k получаем вполне определенную прямую. Среди этого множества прямых выберем ту, которая параллельна прямой 2х – 3у + 6 = 0. Разрешив последнее уравнение относительно у, получим

		y	2	x 2	,
		y	3	x 2	,
			3
откуда k	2	, где k – угловой коэффициент данной прямой. Искомая прямая
откуда k	3	, где k – угловой коэффициент данной прямой. Искомая прямая
	3
будет также иметь угловой коэффициент					k	2	, т.к. прямые параллельны.
будет также иметь угловой коэффициент					k	3	, т.к. прямые параллельны.
						3

Подставляя это значение k в уравнение пучка, находим уравнение искомой прямой:

y 5	2	(x 4); 3y 15 2x 8
	3

или окончательно

2х – 3у – 23 = 0.

Прямая, перпендикулярная прямой 2х – 3у + 6 = 0, получается из уравнения пучка при k 32 (это значение k найдено из условия перпендикулярности

k	1	). Следовательно, вторая искомая прямая определяется уравнением
k
1	k2
	k2
		y 5	3	(x 4)
		y 5		(x 4)

или

3х + 2у – 2 = 0.

ПРИМЕР Написать уравнения сторон и высот треугольника с вершинами

Р (–4, 3), Q (2, 5), R (6, –2).

РЕШЕНИЕ:

Напишем

уравнение стороны PQ.

Для

этого

подставим в

уравнение

следующие

значения:

4, y1 3, x2

2, y2 5.

Получаем

или

																	y		x				13					.
																	y	3				3						.
																		3				3
Из этого уравнения вытекает,															что kPQ								1				, где через kPQ									обозначен угловой
Из этого уравнения вытекает,															что kPQ							3					, где через kPQ									обозначен угловой
																						3
коэффициент прямой PQ.
Чтобы получить уравнение прямой QR, необходимо подставить в уравнение
	x	x1			y		y1	значения x							2, y				5, x						6,							y			2. Тогда получаем
								значения x							2, y				5, x						6,							y		2	2. Тогда получаем
	x2	x1			y2		y1					1			1							2												2
	x2	x1			y2		y1
																y		5				x			2

															2			5				6			2
или
																y			7		x						17			,
																y					x									,
																		4							2
откуда угловой коэффициент прямой kQR																													7		.
откуда угловой коэффициент прямой kQR																									4						.
																									4
Аналогичным образом найдем уравнение прямой PR. Имеем
													y	3			x	4		,				y								1	x		1,
												2		3	6			4		,				y								2	x		1,
												2		3	6			4														2
откуда
																	kPR							1		.
																	kPR					2				.
																						2
Высота, опущенная из точки R (6, –2) на сторону PQ, определяется
уравнением							y	y0			k	(x		x0 ) . В					данном													случае: x1				6,	y1	2, k	3
(значение					k		получено						из	условия							перпендикулярности																двух	прямых:
k			1	,	k		k		1		).		Подставляя												эти									значения			в	уравнение
k				,	k	2	k	PQ			).		Подставляя												эти									значения			в	уравнение
1			k2			2		PQ	3
			k2						3
y		y0 k			(x		x0 ) , получим
										у + 2 = –3(х – 2) или 3х + у – 16 =0.
Уравнение							высоты,				опущенной							из						вершины											Q (2,	5),	определяется

следующими данными: x1	2, y1	5, k	2 (так как
эти значения в уравнение y	y0	k (x	x0 ) , получим

у – 5 = 2(х – 2) или 2х – у – 1 =0.

Аналогично найдем уравнение третьей высоты:

kPR 2 ). Подставляя

y 3	4	(x 4), 4x 7 y 37 0.
	7

ПРИМЕР Дан треугольник с вершинами Р (0, 5), Q (–3,1), R (–1, –2). Найти длину высоты, опущенной из точки R.

РЕШЕНИЕ:

Задача сводится к определению расстояния от точки R до прямой PQ.

Напишем уравнение этой прямой на основании уравнения															x	x1	y	y1	,
Напишем уравнение этой прямой на основании уравнения																			,
															x2	x1	y2	y1
имеем
	y	5			x	0		,		x		y 5
1		5	3			0		,	3				4
1		5	3			0			3				4
или
				4х – 3у + 15 = 0
Расстояние от точки R (–1, –2) до этой прямой вычислим по формуле
		d			A x0			B y0			C			,
					A x0			B y0			C


							A2			B2
							A2			B2
имеем
	d					3 (			2) 15				5 .
				4 1		3 (			2) 15


			42					(	3)2
			42					(	3)2

Следовательно, длина высоты равна 5.

Задания для решения:

1. Найти углы между прямыми:

	y		2	x	7;
а)		3

	y	5x			9;
	y		1	x	3;
б)
		4
	x	4 y			7	0;
в)	2x		4 y		9	0;
	6x		2 y		3	0.

2. Через		точку				пересечения прямых 3х + 5у – 8 = 0; 4х – 7у + 3 = 0

провести прямую, перпендикулярную первой из них, и прямую, параллельную прямой 2х + 6у – 2 = 0.

3.Даны две стороны параллелограмма: х – у + 1 = 0, 3х + 2у – 12 = 0 и точка Е (6, 4) пересечения его диагоналей. Написать уравнение двух других сторон параллелограмма.

4.Стороны треугольника заданы уравнениями: 7х – 6у + 9 = 0;

5х + 2у – 25 = 0; 3х + 10у + 29 = 0. Найти координаты вершин и уравнения высот треугольника.

5. Найти точку, симметричную точке M (5, 5) относительно прямой

х+ у – 3 = 0.

6.Найти проекцию точки M (–5, 4) на прямую х – у – 5 = 0.

Тема 1.8 Полярная система координат на плоскости. Построение линий, заданных уравнениями в полярной системе координат.

(чертеж)

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, луча Ох, исходящего из этой точки и единицы масштаба. Точка О называется полюсом, а луч Ох – полярной осью. Если М – произвольная точка плоскости, то ее положение на плоскости определяется заданием двух чисел:

расстоянием r

и углом

между полярной осью и вектором OM .

Угол

называется полярным углом, а расстояние r

– полярным радиусом

точки М, r и

– полярные координаты.

Связь между декартовыми х, у и полярными r,

координатами точки М

выражается формулами:

r cos

r sin

2 .

По декартовым координатам точки М легко найти ее полярные

координаты, используя формулы:

y2 ,

cos

sin

Образцы решения задач:

ПРИМЕР

Задания для решения:

1. Найти

полярные

координаты

точек:

A(2 3; 2), B (0;

3), C ( 4; 4), D ( 2;

2) .

2. Найти

декартовы

координаты

точек:

A 10;

, B 2;

, C 0;

, D 1;

3.Записать уравнения заданных кривых в полярных координатах:

а) х = у ;

б) х + у – 1 = 0; в) х2 + у2 = 16; г) х2 – у2 = 4;

д) х2 + у2 = 6х.

4. Записать уравнения заданных кривых в декартовых прямоугольных координатах и построить эти кривые:

а) r = 5;

б)	tg	1;
в)	r	4cos ;
г)	r	9	.

		5 4 cos
		5 4 cos

Тема 1.9 Кривые 2-ого порядка на плоскости.

Кривые второго порядка

Эллипс

Гипербола

Парабола

Каноническое уравнение

гиперболы с полуосями а и b

Каноническое уравнение

эллипса с полуосями а и b

параболы с параметром р

Фокусы гиперболы – точки

y 2

2 px

F1 (–с, 0)

и F2 (c, 0) , где

Фокус параболы – точка

Фокусы эллипса – точки

F1 (–с, 0)

и F2 (c, 0) , где

Эксцентриситет гиперболы

Уравнение директрисы

Эксцентриситет эллипса

Асимптоты гиперболы

y ba x.

Директрисы гиперболы

x a

Образцы решения задач:

ПРИМЕР Найти полуоси, фокусы и эксцентриситет эллипса 4х2 + 9у2 = 16. РЕШЕНИЕ: Разделив на 16 обе части уравнения, получим

			x2			9 y 2				1
		4			16					1
		4			16
или
				x2			y 2			1.
		4			16					1.
		4			16
							9
Сравнивая это уравнение с уравнением									x2		y 2	1, находим:
Сравнивая это уравнение с уравнением									a 2		b2	1, находим:
									a 2		b2
a2 4, b2	16	, a 2, b			4			, c2			a2 b2 4		16 20		,
a2 4, b2		, a 2, b						, c2			a2 b2 4				,
9					3								9	9
					28


c	2 5	,	c		5	.
c		,				.
	3		a	3

Таким образом, имеем:


a 2, b	4	, F	2 5		; 0 , F	2 5	; 0 ,	5	.
a 2, b		, F			; 0 , F		; 0 ,		.
	3	1	3	1		3		3
	3		3			3		3

ПРИМЕР Написать простейшее уравнение эллипса, симметричного относительно координатных осей и проходящего через точки

L(32; 22), N (6; 0) .

РЕШЕНИЕ: Простейшее уравнение указанного эллипса имеет вид

x2	y 2	1.
a 2	b2

Определим а2 и b2 из условия принадлежности эллипсу точек L и N. Подставляя координаты этих точек в данное уравнение, получим:

18	8		1,	36	0	1.

a2		b2		a2	b2

Из второго уравнения находим, что а2 = 36. Подставляя найденное значение а2 в первое уравнение, получаем

18	8	1,

36	b2
36	b2

откуда b2 = 16.

Таким образом, искомое решение будет

x 2		y 2
			1.
36	16		1.
36	16

ПРИМЕР Найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения

асимптот и директрис гиперболы

9х2 – 16у2 = 144.

РЕШЕНИЕ: Приведем данное уравнение к каноническому виду, для чего необходимо разделить обе части его на 144. Выполняя деление, получим

y 2

заключаем, что а2 = 16,

Сравнивая это уравнение с уравнением

a 2

b2 = 9. Таким образом,

а = 4

есть действительная полуось, b = 3 – мнимая

полуось. Далее, c

фокусы

F1 (–5, 5),

F2 (5,

5).

Эксцентриситет

. Подставляя значения а и b в формулу

x ,

получаем уравнения асимптот:

y 34 x .

В соответствии с формулой x a , находим уравнения директрис:

x	16
			.
		5

ПРИМЕР Составить простейшее уравнение гиперболы, симметричной относительно координатных осей, пересекающей ось Оу и проходящей через

две точки: M (24, 55), N (0, 5) . Найти фокусы этой гиперболы. РЕШЕНИЕ: Уравнение гиперболы ищем в виде

x2	y 2	1.
a 2	b2

Так как точки М и N лежат на гиперболе, то их координаты удовлетворяют уравнению гиперболы.

Подставляя координаты данных точек в это уравнение, получим

125	242	1,	25	1.
b2	a 2		b2

Решая полученную систему, найдем:

b2 25, a2 144.

Таким образом,

y 2		x2
			1

25	144

есть искомое уравнение.

Определим с по формуле c a2 b2 144 25 13.

Фокусы данной гиперболы лежат на оси Оу: F1 (0, –13), F2 (0, 13).

ПРИМЕР Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы y 2 12x.

РЕШЕНИЕ: Сравнивая уравнение y 2 12x с уравнением y 2 2 px , получаем

2р = 12, откуда p 6,	p	3.	Следовательно, уравнение директрисы х = –3,

	2

фокус находится в точке F (3, 0).

ПРИМЕР Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы x2 8y.

РЕШЕНИЕ: Сравнивая уравнение x2 8y. с уравнением x2 2 py , получаем

2р = 8, откуда p 4,	p	2.	Таким образом, уравнение директрисы у = –2,

	2

фокусом является точка F (0, 2).

ПРИМЕР Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F (0, 3) и прямой у = –5.

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.03.20161.14 Mб109ЛЕКЦИЯ- УГЛЕВОДЫ 5.5.2013.doc
#
15.03.2016264.7 Кб79Лекция4 ВХБ.doc
#
09.04.2015131.7 Кб41Лопатин.docx
#
09.04.201539.2 Кб15Маркетинг и ценообразование.docx
#
15.03.2016217.21 Кб27маркетинг и цо(1).docx
#
09.04.20153.54 Mб17математика Раздел1 практика.pdf
#
15.03.2016328.19 Кб28матер. метук. 2007.doc
#
09.04.201528.11 Кб8мгуп.docx
#
09.04.201523.02 Кб45МГУП1.docx
#
15.03.20161.08 Mб658МЕТ УКАЗАНИЯ ОБЩАЯ ХИМИЯ.doc
#
15.03.2016790.02 Кб19Мет. рек. КР 2012 (заочники).doc