Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет природообустройства

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

математика Раздел1 практика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.04.2015

Размер:

3.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

минимума для функции S x . Поэтому в основании бака наименьшей площади должен лежать квадрат со стороной 4 м , высота бака должна быть

32	2	м .

42
42

Задания для самостоятельного решения.

1.В треугольник с основанием a и высотой h вписан прямоугольник наибольшей площади. Определить площадь прямоугольника.

2.Забором длиной 120 м нужно огородить прилегающую к дому прямоугольную площадку наибольшей площади. Определить размеры прямоугольной площадки.

3.Разложить число 10 на два слагаемых так, чтобы произведение их было наибольшим.

График дифференцируемой функции называется выпуклым на

интервале a;b , если дуга кривой на этом интервале расположена ниже каса-

тельной, проведенной к графику функции в любой точке x a;b . Если на интервале a;bлюбая касательная располагается ниже дуги кривой графика функции, то он называется вогнутым на данном интервале. Точка

x0 ; f x0 , отделяющая участок вогнутости от участка выпуклости,

называется точкой перегиба.

Теорема. (Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции.)

	Если функция			y f x дважды дифференцируема на интервале
a;b	и для	x	a;b	выполняется f '' x 0	( f '' x 0 ) , то функция
выпукла (вогнута) на интервале a;b .
Прямая y		kx	b называется наклонной асимптотой графика функции
y	f x , если расстояние от точки M x, f x				до этой прямой стремится к

нулю при удалении точки М в бесконечность.

Практически параметры k,b наклонной асимптоты определяются из

k	lim	f	x
k	lim		x	.
системы:	x		x	.
	x
b	lim f		x	k x
	x
				71

Прямая x a является вертикальной асимптотой графика функции

y f x , если хотя бы один из односторонних пределов lim f	x , lim f x
x a 0	x a 0

равен бесконечности.

Пример. Определить промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба

функции y x2 1 .

Решение. Ранее была найдена первая производная этой функции

. Найдѐм еѐ вторую производную:

1 2

2 x2 1 2

2 x2

1 2x

2x 6x2

x2 1

1 4

1 3

y" 0

6x2

1 0.

1 3

; 1

. Значит на промежутке x

; 1 1;

график вогнутый. Аналогично, на

1;1

y" 0

и график выпуклый. Точек

перегиба нет, так как x

1 и x

1 не входят в ОДЗ.

Задания для самостоятельного решения.

Определить интервалы выпуклости, вогнутости, наличие точек перегиба.

e x

4 x2

Пример.

Определить асимптоты графика функции y

Решение.

Область определения функции: D( y) :

1; 1

Функция не определена в точках x 1 и x

1, поэтому эти точки являются

точками разрыва функции y

x 2

. Найдѐм односторонние пределы в этих

x 2

точках.

lim

x 2

lim

x 2

. Поэтому x

1 – точка

1 0 x 2

разрыва 2 рода. Аналогично,

lim

x 2

, lim

x 2

x 1 0 x 2

Поэтому x 1 – точка разрыва 2 рода.

Раз x

1 и x

1 – точки разрыва 2 рода, то прямые - x

1 и x

вертикальные асимптоты. Исследуем на наличие наклонной асимптоты:

k lim

lim

x2 1

lim

0 ,

b lim y kx lim

0 x 1.

Поэтому y

1 – наклонная асимптота.

Задания для самостоятельного решения.

Определить асимптоты графика функции

28 Общая схема исследования функций и построение их графиков.

Полное исследование функции и схематическое построение еѐ графика обычно проводят по следующей схеме:

1.Область определения функции.

2.Исследование на чѐтность, нечѐтность, периодичность.

3.Наличие точек разрыва, поведение на .

4.Наличие асимптот.

5.Точки пересечения графика с осями координат.

6.Интервалы монотонности, наличие точек экстремума.

7.Интервалы выпуклости, вогнутости графика функции и точки перегиба.

8.На основании проведѐнного исследования схематично строим график.

ПРИМЕР

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию

y			x	и, используя результаты исследования, построить ее график.


		3 x 2 1
		3 x 2 1
Решение
1)	Область определения функции D(у) = ( , 1) ( 1,1) (1, ) .
2)	Область определения функции симметрична относительно нуля и
выполняется равенство у(– х) =						х		= – у(х). Следовательно, функция


					3 x2		1
					3 x2		1

нечетная. Ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому достаточно исследовать функцию в интервале 0,1 (1, ) .

Функция непериодическая.

3) Исследуем поведение функции на концах области определения. Функция не определена в точке х = 1. Следовательно, х = 1 точка разрыва функции.

Определим характер точки разрыва, для чего найдем односторонние пределы функции в этой точке:

х = 1

lim	x	;	lim	x



x 1-0 3 x2 1			x 1 0 3 x2 1
значит, х = 1 – точка разрыва второго рода.

lim			x		lim		x		lim			1		.

	3
			2
x		x	2	1	x	1		1	x	1			1
		x		1		1		1		1			1
						x 3				3
						x 3	x	x3		3	x		x3
							x	x3			x		x3

4) Прямая х = 1 является вертикальной асимптотой. Найдем наклонную асимптоту y = kx + b.

k lim

lim

b lim ( y kx)

lim

График данной функции наклонной асимптоты не имеет.

5)Точка пересечения графика данной функции с осями координат: О(0,0).

6)Определим интервалы возрастания, убывания функции и точки экстремума, для чего найдем у′:

3			x	1			1
3	x 2 1			1			1			2x


3					3	(x	2	1)	2			x	2	3
y						(x		1)				x		3		.


						1)2					33 (x 2				1)4
		3 (x 2				1)2					33 (x 2				1)4
у′ = 0 в интервале						0.			в точке х =					3 .

Составим таблицу.

Таблица 1 – Исследование функции с помощью первой производной

х	[0,1)	1
х	[0,1)	1	(1, 3 )	3	( 3 ,+ )

у′	–	не сущест.	–	0	+

у	убывает	не сущест.	убывает	уmin≈1,37	возраст.

7) Определим интервалы выпуклости, вогнутости графика функции и точки перегиба.

																		4 3
					2					2x3 (x		2	1)		4			4 3		x	2		1(x		2	3)2x							2
у″=		1 x			2		3		1	2x3 (x			1)					3		x			1(x			3)2x			1 2x(9 x				2		)	.
		1 x					3		1									3											1 2x(9 x						)

		3							3																		9 3
		3	3	(x		2	1)	4	3						3		(x		2	1)		8					9 3			(x	2	1)		7
				(x			1)										(x			1)										(x		1)
На промежутке 0.											у″ обращается в нуль в точках х = 0, х = 3 и не
существует в точке х = 1. у(3) =														3	. Составим таблицу.
существует в точке х = 1. у(3) =													2		. Составим таблицу.
													2
Таблица 2 – Исследование функции с помощью второй производной
	х						0				(0,1)					1								(1,3)				3					(3,+				)

																			74

у″	0	–	не сущ.	+	0		–

у	упер.= 0	выпукл.	не сущ.	вогнут.	упер.=	3	выпукл.
у	упер.= 0	выпукл.	не сущ.	вогнут.	упер.=	2	выпукл.
						2

8) Используя результаты исследования, строим график функции (рисунок 1).

Рисунок – График функции Задания для самостоятельного решения.

Провести полное исследование указанных функций и построить их графики:

1.	y	x	3	3x	2	2.	y		x
1.			3		2	2.
								ln x
								ln x
3.	y	x		1		4.	y	e	x2
	y	x		x	1		y	e
				x	1

29 Примеры функций нескольких переменных. Область определения, график. Предел и непрерывность функции 2 переменных. Частные производные функций нескольких переменных. Полный дифференциал функций двух переменных и его применение к приближѐнным вычислениям.

Определение: Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных z = f(x, y). Если аргументов более 2, то говорят про ФНП.

Пример.	z		x		, z x y	, z sin x y и т. д.

		y	v	u

Определение: Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует.

Определение: Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М0(х0, у0), если для каждого числа > 0 найдется такое число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие

MM0 r

также верно и условие	f (x, y) A	.

Записывают: lim f (x, y) A

xx0

yy0

Определение: Пусть точка М0(х0, у0) принадлежит области определения функции f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называется

непрерывной в точке М0(х0, у0), если lim f (x, y) f (x0 , y0 ) , причѐм точка
x	x0
y	y0

М(х, у) стремится к точке М0(х0, у0) произвольным образом.

В противном случае говорят о точках разрыва ФНП.

Пример. Найти область определения функции z	1	.

	x2 y 2 1

Решение. Функция определена во всех точках координатной плоскости, за исключением точек удовлетворяющих условию x2 y2 1 0 . Очевидно, что

этому условию удовлетворяют все точки, лежащие на окружности единичного радиуса с центром в начале координат. Поэтому область

определения функции	z		1		есть вся координатная плоскость за

		x2	y 2	1
		x2	y 2	1

исключением точек этой окружности.

Задания для самостоятельного решения.

Найти область определения функций нескольких переменных.

1.				2.	z ln x y2
1.	z		25 x2 y2	2.	z ln x y2

3.	z	1		4.	z sin	x	2
3.				4.
		2x 3y				y	3

Пример. Исследовать на непрерывность функцию z	x2		3y2	в точке 0;0 .
	x2		y2

Решение. Приближаясь к точке 0;0 вдоль прямой y		kx , получим:

lim

3y2

lim

3k 2

lim

x2 1 3k 2

lim

1 3k 2

. Если

k 2

x2 1 k 2

1 k 2

x 0

y 0

бы предел функции

3y2

в точке

0;0

существовал, то он был бы

единственным и не зависел от направления подхода к точке

0;0 . Раз

зависимость от k есть, то lim

3y2

не существует. Значит, по

определению точка

0;0

– точка разрыва функции

x2 3y2

Задания для самостоятельного решения.

Исследовать на непрерывность функцию z

z x; y

в точке.

x 3y

;

0;0

Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y).

Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение

х к

переменной х. Тогда величина

xz = f( x + x, y) – f(x, y) называется

частным приращением функции по х.

Тогда

lim

x z

lim

f (x

x, y)

f (x, y)

называется частной производной

функции z = f(x, y) по х.

Обозначение:

;

zx ;

f (x, y)

;

f x (x, y)

Аналогично определяется частная производная функции по у.

z	lim	f (x, y	y) f (x, y)
y	lim		y
y	y 0		y
	y 0

Частные производные ФНП ищутся с соблюдением всех известных правил дифференцирования. При этом при дифференцировании по одной переменной остальные переменные зафиксированы, то есть считаются постоянными.

Пример. Найти частные производные заданной ФНП в произвольной точке: z x y .

Решение. При дифференцировании по переменной x функция z					x y
является степенной. Тогда	z	y x y 1 . При дифференцировании по
является степенной. Тогда	x	y x y 1 . При дифференцировании по
	x
переменной y функция z	x y является показательной и производная ищется
по правилу дифференцирования показательной функции:			z	x y	ln x .
по правилу дифференцирования показательной функции:			y	x y	ln x .
			y

Задания для самостоятельного решения.

Найти частные производные заданной ФНП в произвольной точке.

ln 1

tg x

Определение: Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно х и у приращения функции z в точке (х,

у).

dz f x (x, y)dx f y (x, y)dy

Пример. Найти полный дифференциал функции z

x 2

y 2

Решение.

2 yx

(x2 y 2 )2

z y (x2

y 2 ) y( 2 y)

y 2

2 y 2

y 2

(x2

y 2 )2

(x2

y 2 )2

(x2

y 2 )2

2xy

y 2

dy .

(x2

y 2 )

(x2

y 2 )2

Приближѐнные вычисления основаны на формуле:

f (x

x, y y)

f (x, y)

y .

Пример. Вычислить приближенно значение 1,041,99 .

Решение. Здесь z

x y ,

x y

1 ,

x y ln x ,

x; y

1;2 ,

0,04;

0,01 . В соответствии с формулой

1,041,99 12

2 11

0,04

ln1

0,01

1 0,08 0 1,08.

Задания для самостоятельного решения.

Вычислить приближѐнно:

1,023,01

4,022

2,982

3.	1,023 2,953	4.	arctg	1,99	1
3.	1,023 2,953	4.	arctg	0,97	1
				0,97

30 Нахождение экстремумов функции двух переменных.

Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство

f (x0 , y0 ) f (x, y) ( f (x0 , y0 ) f (x, y) )

то точка М0 называется точкой максимума (минимума).

При нахождении точек экстремума Ф2П используются следующие факты:

Теорема. (Необходимые условия экстремума).

Если функция f(x,y) в точке (х0, у0) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю

fx (x0 , y0 ) 0, f y (x0 , y0 ) 0 , либо хотя бы одна из них не существует.

Точку (х0, у0) будем называть критической точкой.

Теорема. (Достаточные условия экстремума).

Пусть в окрестности критической точки (х0, у0) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:

D x, y	f	x	2 (x, y)	f xy (x, y)		A B	A C B2 .
	f		2 (x, y)	f xy (x, y)		A B
					2 (x, y)
	f xy (x, y)			f	2 (x, y)	B C
				y
				y

1) Если D(x0, y0) > 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) имеет экстремум. При этом если f x2 (x0 , y0 ) 0 , то в точке (х0, у0) будет максимум, если же

f x2 (x0 , y0 ) 0 - минимум.

2) Если D(x0, y0) < 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) не имеет экстремума В случае, если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.

Пример Найти экстремумы функции f (x, y) 1 15x 2x 2 xy 2 y 2 .

Решение. Функция определена на всей координатной плоскости. Найдѐм частные производные первого порядка, приравняем их к нулю и решим систему уравнений:

f 'x (x, y) 0	15 4x y 0	15 15y 0		y	1	.
f ' y (x, y) 0	x 4y 0	x	4 y	x 4

Значит, стационарная точка M(4;-1). Находим частные производные второго порядка:

f ' 'xx (x, y) (15 4x y)'x

4 ;

i sin ) .

f ' ' yy (x, y) ( x 4y)' y		4 ;
f ' 'xy (x, y)	(15 4x y)'y	1.
В данном случае производные от x, y не зависят, поэтому и для
стационарной точки M(4;-1) имеем:							f ' 'xx (4;		1) 4 ; f ' ' yy (4;	1) 4 ;
f ' 'xy (4; 1)	1. Тогда		A	B	4	1		15 0	. Так как A 0	, то M(4;-1) –
			A	B	4	1
			B	C	1	4
			B	C	1	4

точка локального максимума исходной функции. Максимум функции

f (x, y)	1 15x 2x 2			xy	2 y 2 будет	fmax	f (4; 1) 31.
Задания для самостоятельного решения.

1.	f (x, y)	x 2	xy	y 2	10	2.	f (x, y) (x 3)2	y 1 2	1
3.	f (x, y)	3x 6 y		x2	xy y 2	4.	f (x, y) 2x3 xy 2	5x2	y 2

31, 32 Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа, его геометрическая интерпретация. Действия над комплексными числами. Извлечение корней натуральной степени из комплексного числа

Определение. Алгебраической формой комплексного числа z

называется выражение z a ib , где	a и b – действительные числа,				i –
мнимая единица, которая определяется	соотношением: i 2
		1;	i	1.

При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).

Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.

Определение. Числа z a ib и z a ib называются комплексно –

сопряженными.

Любое комплексное число представляется точкой на (комплексной) плоскости. Координатами этой точки будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа.

С помощью геометрического представления комплексные числа можно представлять в тригонометрической форме: z a ib r(cos

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.03.20161.14 Mб107ЛЕКЦИЯ- УГЛЕВОДЫ 5.5.2013.doc
#
15.03.2016264.7 Кб79Лекция4 ВХБ.doc
#
09.04.2015131.7 Кб41Лопатин.docx
#
09.04.201539.2 Кб15Маркетинг и ценообразование.docx
#
15.03.2016217.21 Кб26маркетинг и цо(1).docx
#
09.04.20153.54 Mб17математика Раздел1 практика.pdf
#
15.03.2016328.19 Кб28матер. метук. 2007.doc
#
09.04.201528.11 Кб8мгуп.docx
#
09.04.201523.02 Кб45МГУП1.docx
#
15.03.20161.08 Mб658МЕТ УКАЗАНИЯ ОБЩАЯ ХИМИЯ.doc
#
15.03.2016790.02 Кб19Мет. рек. КР 2012 (заочники).doc