Глава 10. Напряжения и деформации при кручении стержней кругового поперечного сечения

   Кручением называется такой вид напряжённого состояния, при котором в поперечном сечении стержня возникает лишь один силовой фактор — крутящий момент М_z. Крутящий момент по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно продольной оси стержня Oz. Нормальные силы, параллельные оси Oz, вклада в крутящий момент не вносят. С силами, лежащими в плоскости поперечного сечения стержня (интенсивности этих сил — касательные напряжения и) М_z связывает вытекающее из его определения уравнение равновесия статики (рис. 10.1)

   Условимся считать M_z положительным, если со стороны отброшенной части стержня видим его направленным против часовой стрелки (рис. 10.2). Это правило проиллюстрировано на рис. 1 и в указанном соотношении, где крутящий момент М_z принят положительным. Численно крутящий момент равен сумме моментов внешних сил, приложенных к отсеченной части стержня, относительно оси Ог.

Рис. 10.1. Связь крутящего момента с касательными напряжениями

 

Рис. 10.2. Иллюстрация положительного и отрицательного крутящего момента

 

   Рассмотрим кручение стержней кругового поперечного сечения. Исследование деформаций упругого стержня с нанесенной на его поверхности ортогональной сеткой рисок (рис. 10.3) позволяет сформулировать следующие предпосылки теории кручения этого стержня:

1. поперечные сечения остаются плоскими (выполняется гипотеза Бернулли);

2. расстояния между поперечными сечениями не изменяются, следовательно ;

3. контуры поперечных сечений и их радиусы не деформируются. Это означает, что поперечные сечения ведут себя как жесткие круговые пластинки, поворачивающиеся при деформировании относительно оси стержня Ог. Отсюда следует, что любые деформации в плоскости пластинки равны нулю, в том числе и ;

4. материал стержня подчиняется закону Гука. Учитывая, что , из обобщенного закона Гука получаем. Это означает, что в поперечных сечениях, стержня возникают лишь касательные напряжения , а вследствие закона парности касательных напряжений, равные им напряжения действуют и в сопряженных продольных сечениях. Следовательно напряженное состояние стержня — чистый сдвиг.

Рис. 10.3. Иллюстрация кручения: а) исходное и б) деформированное состояния

 

   Выведем формулу для касательных напряжений при кручении призматического стержня кругового поперечного сечения. Как видно, поворот правого торцевого сечения относительно неподвижного левого на угол (назовем его углом закручивания стержня) вызывает поворот продольных волокон на угол(угол сдвига), поскольку на величинуискажаются углы ортогональной сетки продольных и поперечных рисок модели.

   Двумя смежными сечениями вырежем элемент стержня длиной dz и, поскольку нас интересуют деформации элемента, левое сечение его будем считать неподвижным (рис. 10.5). При повороте правого сечения на угол в соответствии с гипотезой о недеформируемости радиусов, правый конец волокнаАВ (отстоящий от оси элемента на величину полярного радиуса ) будет перемещаться по дугеBB₁, вызывая поворот волокна на угол сдвига

   Обратим внимание на то, что сдвиг и связанное с ним касательное напряжениеперпендикулярны радиусу. Определим, воспользовавшись законом Гука для чистого сдвига

(10.1)

 

Рис. 10.4. Распределение касательных напряжений при кручении.

 

   Здесь — погонный угол закручивания стержня, который остается пока неизвестным. Для его нахождения обратимся к условию статики, записав его в более удобной для данного случая форме (рис. 10. 4,a)

(10.2)

Подставляя (10.1) в (10.2) и учитывая, что

где J_p—; полярный момент инерции поперечного сечения (для круга с диаметром d ), получаем

(10.3)

Рис. 10.5. Распределение напряжений для кольцевого сечения

 

а) разрушение дерева, б) разрушение чугуна Рис. 10.6. Распределение исходных касательных и главных напряжений:

 

   Подставляя выражение (10.3) в (10.1), получаем формулу для касательных напряжений при кручении призматического стержня кругового поперечного сечения

(10.4)

   Как видно из (10.4), сдвиги и касательные напряжения пропорциональны расстоянию от оси стержня. Обратим внимание на структурные аналогии формул для нормальных напряжений чистого изгиба и касательных напряжений кручения.

   Мерой деформации стержня при кручении является погонный угол закручивания стержня, определяемый по (10.3). Поскольку величина GJ_p стоит в знаменателе формулы и при заданной нагрузке (M_z через нее выражается) тем меньше, чем большеGJ_p, последнюю называют жесткостью поперечного сечения при кручении.

Пользуясь (3) для определения угла закручивания элемента длиной dz

найдем полный угол закручивания стержня длиной l

(10.5)

В случае, если по длине стержня М_z и DJ_p постоянны, получаем

когда эти величины кусочно-постоянны, то:

(10.6)

Отметим, что полученные формулы по структуре аналогичны формулам для деформаций при растяжении стержня.

Наибольшие касательные напряжения возникают у внешней поверхности стержня, т. е. при

где W_р — момент сопротивления при кручении или полярный момент сопротивления

.

   Полярный момент сопротивления, стоящий в знаменателе для максимальных касательных напряжений, очевидно, является геометрической характеристикой сечения, а условие прочности стержня при кручении принимает вид

(10.7)

где — допускаемое напряжение на кручение.

   Как показали эксперименты и точное решение этой задачи в теории упругости, все гипотезы, сформулированные ранее для стержня со сплошным круговым сечением, остаются справедливыми и для стержня кольцевого поперечного сечения (рис. 10.7). Поэтому все выведенные ранее формулы пригодны для расчета стержня кольцевого сечения с той лишь разницей, что полярный момент инерции определяется как разность моментов инерции кругов с диаметрами D и d

где , а момент сопротивления определяется по формуле

   Учитывая линейный характер изменения касательных напряжений по радиусу (рис. 10.7) и связанное с этим лучшее использование материала, кольцевое сечение следует признать наиболее рациональным при кручении стержня. Коэффициент использования материала тем выше, чем меньше относительная толщина трубы.

   Как отмечено ранее, напряженное состояние при кручении стержня — чистый сдвиг, являющийся частным случаем плоского напряженного состояния. На площадках, совпадающих с плоскостью поперечного сечения и на парных им площадках продольных сечений возникают экстремальные касательные напряжения max-min , а главные напряжениядействуют на площадках, наклоненных к оси стержня под углами; главное напряжение.

   Особенности напряженного состояния при кручении нашли отражение в характере разрушения стержней. Так, разрушение стержня из дерева, плохо работающего на скалывание вдоль волокон, происходит от продольных трещин (рис. 8, a). Разрушение стержня из хрупкого металла (например, чугуна) происходит по винтовой линии, наклоненной к образующим под углом 45^o, т. е. по траектории главного напряжения (рис. 8,б).

ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ПРИ КРУЧЕНИИ

Рассмотрим расчетную схему вала, нагруженного двумя сосредоточенными моментами М и 2М и распределенными по длине: m, рис. 10.7.

Методика построения эпюры аналогична только что рассмотренной методике при растяжении-сжатии.

а) расчетная схема, б) первый участок, левая часть в) второй участок, левая часть г) третий участок, правая часть, д) эпюра внутренних крутящих моментов

Рис. 10.7. Построение эпюры внутренних крутящих моментов:

 

В исходных сечениях No 1,2 и 3 задаются положительными значениями внутренних крутящих моментов М₁, М₂, М₃. Пусть М=ml.

Для первого участка (рис. 10.7 б):

Для второго участка (рис.10.7 в):

Для третьего участка (рис.10.7 г):

Границы измерения параметра х₃ в следующей системе координат:

Тогда:

Отмеченные значения ординат откладываются на эпюре внутренних крутящих моментов (рис.10.7 д).

Пример.

Стержень переменного круглого сечения жестко заделан в концевых сечениях и нагружен моментом М.

Требуется:

1. Определить величины моментов в заделках.

2. Построить эпюры крутящих моментов Мz(z), наибольших касательных напряжений τ(z), относительных углов закручивания Ѳ(z) абсолютных углов закручивания ϕ(z). Для этого составить на каждом участке соответствующие аналитические выражения и определить в буквенном виде значения характерных ординат.

3. Определить из условия прочности и жесткости допускаемую величину момента М.

4. Построить эпюру касательных напряжений в опасном сечении(по напряжениям) при найденном значении [М].

Данные к задаче:

D=8·10^-² м;l=50·10^-²м; [τ]=80МПа; [Ѳ]=1 гр/м;G=8·10⁴МПа.

Кроме того, индивидуальность задания определяется геометрией стержня и величиной отношения диаметров.

== 0,85

Решение.

Прежде всего необходимо пояснить, как определяется направление момента условно считается, что если в кружочке обозначения момента стоит точка, то как бы стрела направлена на нас, если крестик, то мы видим оперение стрелы. Так, на рис. 4.9 искомый момент М направлен по часовой стрелке относительно оси стержня, если смотреть с конца оси z.

Перед началом решения полезно определить соотношения геометрических параметров по участкам. Как принято, характерные сечения обозначаем начальными буквами латинского алфавита. Пронумеруем участки: ①-ый участок АВ,②-ой участок ВС и ③-ий участок СD, см. рис.4.9. В качестве эталонного выберем 2-й участок, диаметр которого задан непосредственно в данных к задаче. Все геометрические параметры участков выразим через эталонные. Итак, эталонные параметры:

;.

а) первый участок АВ:

б) второй участок ВС:

;;

; ;

в) третий участок CD:

1. Определение величины моментов в заделках.

Направляем реактивные моменты М_А и М_D против направления действия момента М. Уравнение равновесия:

(4.24)

Одно уравнение с двумя неизвестными. В качестве недостающих уравнений составим уравнения совместимости перемещений с помощью закона Гука см.(4.16) и принципа независимости действия сил. Мысленно попеременно отбрасывается связи, накладываемые заделками в сечениях А и D, определим реактивные моменты, а уравнение (4.24) используем в качестве проверочного уравнения. Алгоритм решения данной задачи такой же, как в примере при расчете на растяжение-сжатие.

Отбрасываем связь в сечении А. Определяем угол поворота сечения А относительно сечения D, помня что в действительности этот угол равен нулю.

Слагаемые, содержащие М_А, взяты со знаком плюс, так как направление момента М_А относительно оси z против часовой стрелки. Соответственно слагаемое с моментом М взято со знаком минус.

Итак:

+

После сокращений на l и на и сложений получим:

М_А=0,407М.

Аналогично для заделки в сечении D:

Или:

После сокращений на l и на и сложений получим:

M_D=0,593M

Подставим полученные значения M_A и M_D в (4.24):

0,407М – М + 0,593М=0; 0≡0.

Наносим значения реактивных моментов на расчетную схему, см.рис.4.9.

2. Построение эпюр.

а) эпюра крутящих моментов.

На первом и втором участках рассмотрим внешние моменты слева от сечения:

М_z(z₁) = M_z(z₂) = - M_A =0,407M

Так как внешний момент М_А направлен против часовой стрелки относительно оси z и внутренний момент М_кр также направлен против часовой стрелки относительно оси z, вследствие совпадения направлений внешней нормали и оси z, то крутящий момент будет отрицательным.

На третьем участке рассмотрим внешние моменты справа от сечения:

М_z(z₃)=M_D=0,593M

В этом случае внешняя нормаль не совпадает с направлением оси z.

Строим эпюру M_z(z), см.рис.4.9.

б)эпюра наибольших касательных напряжений на контурах поперечных сечений.

;

;

;

Строим эпюру τ(z), см.рис.4.9.

в) эпюра относительных углов закручивания.

Строим эпюру Ѳ(z), см.рис.4.9.

г) эпюра абсолютных углов закручивания.

Согласно выражению(4.17) при Ѳ = const в пределах рассматриваемого участка , то эпюра Ү(А)=0, т.к. заделка

Абсолютный угол закручивания в сечении В будет определяться относительным углом закручивания на первом участке:

Ү(В)=Ѳ(z₁)·l₁=-0,212

При определении угла в сечении с необходимо учитывать и угол в сечении B:

Ү(C)=Ү(B)+Ѳ(z₂)·l₂= -0,424+(-0,407)·2l=-1,238

Соответственно:

Ү(D)=Ү(C)+Ѳ(z₃)·l₃= - 1,238+1,241 ·l≈0

Определим ошибку в вычислениях:

∆Ү= т.е. вполне приемлемая точность в расчетах.

Строим эпюру Ү(z), cм.рис.4.9.

3. Определение допускаемого момента.

а) из условия прочности.

Опасным, то есть расчетным является любое сечение третьего участка.

τ^max = 1,241 ≤ [τ].

[M]_τ =

Коэффициент 10⁶для перевода единицы МН в Н.

б) из условия жесткости.

В данной задаче опасное сечение по условию жесткости совпало с сечением по условию прочности.

Ѳ^max=1,241.

Необходимо заданный допускаемый угол в градусной мере перевести в радианную меру.

[Ѳ]=1

Окончательно принимаем:

[M]=4518,6 Н·м

4. Построение эпюры касательных напряжений в любом сечении участка три, оказавшийся опасным по величине напряжений.

у

τ^max=55,8МПа

х

D

d

При определении направлений касательных напряжений учитываем направление действия крутящего момента. На третьем участке он положительный, то есть относительно внешней нормали он направлен против часовой стрелки. Соответственно направляем напряжения. Стрелочки напряжений ни в коем случае не могут исходить из пространства высверленного отверстия, см. рис. 4.10.

Из эпюры τ(z):

Коэффициент 10^-6для перевода единицы Па в МПа.

Наносим на эпюру значение τ^max, см. рис. 4.10.

РАСЧЕТ ВАЛОВ

   Рассмотрим расчет вала на прочность и жесткость. Пусть известна мощность W (кВт), передаваемая вращающимся с заданным числом оборотов в минуту (n) валом от источника мощности (например, двигателя) к ее потребителю (например, станку), а момент т, передаваемый валом, требуется найти, так как численно равный этому моменту крутящий момент необходим для расчета вала.

   Если число оборотов вала в минуту п и соответствующая угловая скорость (с^-1) постоянны, а Ф — угол поворота вала в данный момент времени t, то работа вращательного движения А=тФ. Тогда передаваемая валом мощность будет равна

Отсюда

кНм,

где учтено, что .

   Если мощность подается на вал через ведущий шкив, а раздается потребителям через несколько ведомых шкивов, то соответственно определяются моменты на шкивах, а затем строится эпюра крутящих моментов. Расчет вала на прочность и жесткость ведется, очевидно, по max M_z.

   Определение диаметра вала из условия прочности. Условие прочности при кручении вала имеет вид (10.7), где допускаемые напряжения принимаются пониженными по сравнению с допускаемыми напряжениями обычного статического расчета в связи с необходимостью учета наличия концентраторов напряжений (например, шпоночных канавок), переменного характера нагрузки и наличия наряду с кручением и изгиба вала.

Требуемое значение W_p=d^з/16 получаем из условия (10.7), принимая в нем знак равенства

,

откуда получаем формулу для диаметра вала кругового сечения

(10.8)

   Определение диаметра вала из условия жесткости. Условие жесткости состоит в наложении ограничения на погонный угол закручивания вала , так как недостаточно жесткие валы не обеспечивают устойчивой передачи мощности и подвержены сильным колебаниям:

(10.9)

Тогда, учитывая, что , для диаметра вала из условия жесткости имеем

(10.10)

Аналогично проводятся расчеты и для вала кольцевого поперечного сечения.