Глава 17. Динамическое нагружение.

Выше были рассмотрены вопросы расчётов на прочность, жёсткость и устойчивость при различных видах напряженно-деформированного состояния. При этом, рассматривались только случаи нагружения силами, прилагаемыми к элементам конструкций статическим способом. Вместе с тем, из опыта эксплуатации различных конструкций, механизмов и машин известно, что статический способ нагружения является наименее опасным с точки зрения прочности элементов конструкций. Действительно, лист стекла, нагружаемый статическим способом, может выдержать значительную нагрузку. Но достаточно грузу значительно меньшей массы с большой высоты ударно нагрузить этот лист стекла, как оно разрушится на мелкие части.

В чём же причина уделения такого внимания в курсе сопротивления материалов статическому способу нагружения? Причин можно назвать несколько. Остановимся на двух главных причинах.

Первая причина. В целях упрощения математического аппарата в инженерной науке о сопротивлении материалов используется принцип Даламбера: «Если к заданным силам и реакциям наложенных связей присоединить силы инерции, то получим уравновешенную систему. Сила инерции направлена противоположно ускорению». С помощью этого принципа можно свести все виды динамического нагружения к статическому, не перегружая курс сопротивления материалов решением сложных дифференциальных уравнений. При этом, иногда при некоторых способах динамического нагружения, например, при ударном нагружении, удаётся ввести так называемые динамические коэффициенты. При этом задача по расчётам на прочность и жёсткость ещё более упрощается, и расчёты сводятся к умножению статических напряжений и перемещений на эти динамические коэффициенты.

Вторая причина. Абсолютно все расчёты ведутся в относительных сравниваемых единицах. Например, единица «метр». Такая же относительная единица, как «верста», «дюйм», «миля» и т.д.. Но когда мы сравниваем «метр» и «дюйм» сразу понимаем, что «метр» больше «дюйма» грубо говоря в 40 раз. Так и при расчётах на прочность. Если напряжение, возникшее в детали равно 100 МПа, мы знаем, что выполненная из малоуглеродистой стали эта деталь будет работать надёжно , а выполненная из дерева – моментально сломается. При этом нам неважно, каким образом была получена величина допускаемого напряжения. Оказывается, при определении механических характеристик материала наиболее удобнее проводить испытания при статическом способе нагружения, так как при этом мы получаем стабильные результаты. А при определении допускаемых напряжений можно учесть характер нагрузки на деталь. Например, для малоуглеродистой стали с величиной придела текучести , равном 240 МПа , при учёте сил инерции в случае равномерного вращения детали допускаемое напряжение может быть принятым величиной 160 МПа , а при ударном нагружении – величиной 100 МПа , опираясь на принцип Даламбера расчёты при динамическом нагружении можно разделить на две части.

1. При равноускоренном или равнозамедленном движении, когда из уравнения движения имеется возможность легко определить ускорение, задача сводится к определению величины силы инерции, которую присоединяют к действующим нагрузкам. Это – так называем раздел: «Учёт сил инерции»

2. При ударном нагружении время соударения упругих тел весьма мало. Определение величины ускорения весьма затруднительно. Поэтому в сопротивлении материалов широкое применение получил энергетический метод расчётов при ударе. Во многих случаях удаётся определить динамический коэффициент при ударе. В итоге, задача сводится к определению этого коэффициента и умножению его на статические напряжения и деформации.

1. Учёт сил инерции.

Расчёт троса подъёмного механизма

В качестве простейшего примера применения принципа Даламбера рассмотрим расчёт троса подъёмного механизма при начале его движения. Схема механизма дана на рис.17.1

Рис. 17.1

При неподвижном грузе на трос действует статическая сила: ..

При подъёме груза в начале движения со скоростью «V» груз испытывает ускорение «», в результате чего возникает действующая сила инерции:

.

Согласно принципу Даламбера эта сила направлена противоположно ускорению, то есть вниз. См. рис. 17.1.

Расчётная схема для троса, как растягиваемого стержня, представлена на рис 17.2. Трос разделён плоскостью «mn», мысленно отброшена верхняя часть.

Рис. 17.2

Для оставшейся нижней части составляем уравнение равновесия:

=N––= 0

Так как внутренний силовой фактор возникает в данном случае при динамическом воздействии, то и нормальная сила является динамической :

N=

N=),

Или: N=),

Окончательно: N=), (17.1)

Разделим уравнение (17.1) на площадь сечения троса:

=

Где и- соответственно динамическое и статическое напряжения, действующие на трос.

При динамическом воздействии иногда удаётся определить динамические коэффициенты. В нашем случае в качестве динамического коэффициента можно принять выражение:

=,

Где знак «минус» соответствует опусканию груза.

Тогда окончательно получаем :

=(17.2)

Статическое напряжение определяется по известной формуле:

=,

а динамическое напряжение получат своё значение в зависимости от значения « ». Например, если трос оборвётся, груз будет падать с ускорением, равном «g», динамический коэффициент:

== 0

то есть в тросе при этом напряжения отсутствуют.

2. Расчёт равномерно вращающегося стержня.

Рассмотрим стержень, равномерно вращающийся вокруг оси «Y», см.рис 17.3.Длина стержня «L»,площадь

Рис. 17.3

поперечного сечения «F». При расчёте стержня собственной массой стержня пренебрегаем. Так как будем учитывать только инерционную нагрузку, то для простоты обозначений индексы «ин» везде опустим. Модуль окружной скорости при равномерном вращении постоянен, но вследствие непрерывного изменения направления вектора, движение является ускоренным.

Силы инерции зависят от величины угловой скорости «» и от радиуса вращения. В каждом сечении по толщине стержня силы инерции одинаковы. Поэтому в качестве расчётной схемы можем принять плоский стержень, см. рис. 17.4. Применяя принцип Даламбера мы как бы останавливаем вращательное движение. Поэтому в расчётной схеме ось вращения может быть представлена в виде жёсткого закрепления.

Рис. 17.4

Силы инерции направлены от оси вращения. Так как от сечения к сечению силы инерции меняются, необходимо перейти к интенсивности сил инерции «q»,см.рис.17.4:

Определим элементарную центробежную силу инерции на текущем расстоянии «Z» от оси вращения:

=dm

Элементарная масса элемента стержня длиной «dz»:

,

Где - удельная масса материала стержня. Центростремительное ускорение на радиусе «z»:

=

Тогда :

И интенсивность центробежной силы:

Зависимость оn«z»линейная, строим эпюру «q(z)»,см. рис. 17.4.

Максимальное значение интенсивности центробежной силы будет :

Для определения внутреннего силового фактора применим метод плоских сечений. Проводим плоскость на расстоянии «z» от сечения «A» и рассматриваем правую часть стержня, см.рис. 17.5

Рис. 17.5.

Из расчётной схемы на рис. 17.5 следует, что от действия центробежных сил инерции возникнет нормальная сила N(z). Уравнение равновесия запишется в следующем виде:

Тогда : ,

Или: .

Окончательно:

В сечении «А», то есть на оси вращения, при «Z=0» будет действовать максимальная нормальная сила:

На конечном торце стержня в сечении «B» при «z=l»:

Эпюра N(z) параболическая, так как «z» во второй степени. При этом, вершина параболы находиться в сечении «А», так как в этом сечении «», а интенсивность есть первая производная о силы инерции. Максимальное напряжение на оси вращения:

,

Тогда связь с линейной скоростью:

Из полученного результата следует, что величина напряжения не зависит от площади сечения стержня. С увеличением площади пропорционально увеличивается масса стержня и соответствующие силы инерции. Поэтому при расчёте вращающихся элементов конструкции на прочность лимитирующим фактором оказывается окружная скорость вращения. Расчёты ведутся по допускаемому числу оборотов.

Уравнение прочности:

Тогда, согласно последнему равенству можем записать в нашем случае для допускаемой окружной скорости: .

Учитывая, что

Окончательно получим:

Где []- допускаемая угловая скорость,

[n]- допускаемое число оборотов в минуту.

Пример

Плоская рама вращается вокруг участка «АВ» с постоянной угловой скоростью «ω». Все участки рамы имеют круглое сечение диаметра «D». В точке «С» расположена сосредоточенная масса. Собственным весом рамы пренебречь.

Требуется:

1. Изобразить схему нагружения рамы силами инерции;

2. Построить эпюру изгибающих моментов М_х(z);

3. Найти положение плоского сечения и из условия прочности определить допускаемое число оборотов в минуту n.

Данные к задаче:

l=1 м;D=0,02 м; ρ=7,8m/м³; [σ]=160 МПа,

Схема рамы предоставлена на рис. 17.6

Рис. 17.6

Решение.

1. Схема нагружения

Считаем, что подшипник в сечении «А» помимо вертикальных нагрузок может воспринимать и осевые нагрузки. Значит, опору в сечении «А» можем считать шарниром, тогда в сечении «В» будет каток.

Характерные сечения обозначаем начальными буквами латинского алфавита, см. рис. 17.7.

На участках АLиLBсилами инерции можно пренебречь по сравнению с участкамиCEиEL, так как силы инерции на радиусе 0,01 м весьма малы по сравнению с силами на радиусе 1м.

Поэтому считаем что участки «AL» и «LB» силами инерции не нагружены.

Рис. 17.7

В сечении «С» приложена сосредоточенная масса m=2 кг, которая создает силу инерции;

На участке «СЕ» действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью:

индекс «max» для простоты записи опущен.

Участок EL нагружен аналогично тому, как нагружен стержень. Согласно эпюре q(z), см. рис. 17.4, суммарная сила инерции будет равна: , или, опуская для простоты записи индекс «max», можем записать:

Точка приложения этой силы на участке EL Me имеет значения, так как на самом участке EL она изгибающего момента создавать не будет.

Все силы инерции направляются в сторону от оси вращения «AB».

2. Эпюра изгибающих моментов.

В первую очередь необходимо определить реакции в шарнирах. В настоящем случае имеет место системы параллельных сил. Составим два уравнения равновесия моментов относительно точек «А» и «В». Проверкой будет уравнение суммы сил на вертикаль.

Проверка:

;

;

;

0=0.

Положительные знаки реакции указывают на то, что мы «угадали» их направления.

Построение эпюры осуществим по участкам.

1-ый участок СЕ. 0≤z₁≤2l.

Слева от сечения:

.

При z₁=0,M_X (c)=0; при z₁=2l,

Ординаты откладываем в положительную сторону оси Y₁

Эпюра параболическая. В сечении «С» поперечная сила не равна нулю, значит экстремума нет. Кривизна эпюры: q>0, то есть выпуклостью вниз.

Строим эпюру M_X (z₁), см. рис. 8.18

2-ой участок LЕ. 0≤z₂≤l

Сверху от сечения:

Откладываем ординаты против направления оси Y₂. Строим эпюру M_X (z₂), см. рис. 17.8

Рис. 17.8

3-ий участок AL. 0≤z₃≤2l

Слева от сечения:

При z₃=0, M_X (А)=0; z₃=2l .

Эпюра линейная, ординаты откладываем против положительного направления оси Y₃.

Строим эпюру M_X (z₃), см. рис. 17.8

4-ый участок ВL. 0≤z₄≤2l

На четвертом участке удобнее вести отсчет от сечения «В» к сечению «L». Соответственно направлены координатные оси на этом участке, см. рис. 17.7.

Справа от сечения:

При z₄=0, M_X (В)=0; z₃=2l .

Эпюра линейная, координаты откладываем в сторону положительного направления оси Y₄. Строим эпюру M_X (z₄), см. рис. 8.1.8

3. Из построенной эпюры M_X (z) следует, что опасным, то есть расчетным является сечение «L» участка «AL».

.

Уравнение прочности:

В выражение изгибающего момента в конечном итоге входит угловая скорость. Определяем допускаемое значение изгибающего момента: , или

Выразим величины [P] и [q] через допускаемую угловую скорость: .

Учитывая, что:

и, можем записать:

.

Подставляя значения заданных величин с учетом масштабных коэффициентов, получим:

.

Допускаемое число оборотов в минуту:

об/мин.

118