- •3.1. Элементы выпуклого анализа
- •3.2. Дифференциальные критерии выпуклости функций
- •3.3. Общая задача оптимизации
- •3.4. Исследование задачи математического программирования
- •3.5. Численные методы нелинейного программирования
- •Методы нулевого порядка
- •Методы первого порядка
- •Метод второго порядка
- •Глава 4. Динамическое программирование
- •4.1. Постановка задачи динамического программирования
- •1. Задача о пропорциях потребления и накопления
- •2. Задача о замене оборудования
- •3. Задача о распределении ресурса
- •4.2. Метод динамического программирования р. Беллмана
- •4.3. Решение задачи о замене оборудования методом р. Беллмана
- •Заключение
- •Вопросы для самопроверки
- •Библиографический список
- •Содержание
1. Задача о пропорциях потребления и накопления
Введем в рассмотрение следующие экономические показатели страны,
предполагая, что они заданы в условных единицах: – объем производственных фондов,– объем затрат труда (в другой интерпретации – трудовые ресурсы),– национальный доход,– объем накопления,– объем потребления. Используя производственную функцию Кобба-Дугласа, запишем:, где, а постоянныеиудовлетворяют условию. Значения(и соответственно) подбирают для экономики каждой конкретной страны. В частности, для экономики СССР использовались значения. Объемы накопления и потребления связаны с национальным доходом соотношениямии, где– норма накопления,. Будем рассматриватьпериодов планирования; для обозначения номера периода планирования используем переменную, которую также можно рассматривать как номер момента времени начала очередного периода планирования. Требуется найти оптимальную стратегию планирования, т.е. стратегию, которая позволила бы иметь к моменту временипроизводственные фонды в заданном объеме и при этом максимизировать потребление. Отметим, что средства накопления используются только на приобретение и создание производственных фондов, а влияние потребления на трудовые ресурсы в данной задаче не учитываем. В качестве управления используем норму накопления, устанавливая ее значенияв начале каждого периода планирования. Установленная норма накоплениядействует в течение-го периода планирования. Используя в качестве целевой функции суммарный за рассматриваемый периодобъем потребления, приходящийся на единицу объема трудозатрат, с учетом рассмотренных выше зависимостей сформулируем задачу о пропорциях потребления и накопления в виде задачи динамического программирования:
(4.1.2)
Здесь (норма амортизации производственных фондов),,,,,– заданные величины, причем,– производственная функция Кобба-Дугласа. Характер зависимости объема затрат трудаот временидля модели этой зависимости, использованной в (4.1.2), иллюстрируют графики, представленные на рис. 4.1.1. Эти графики свидетельствуют о достаточно широких воз-
Рис. 4.1.1. Графики зависимости объема затрат труда от времени
можностях выбора варианта динамики изменения объема трудозатрат в рамках рассматриваемой модели. Такой выбор легко осуществить путем установки соответствующих значений параметров модели. Зависимости, представленные на рис. 4.1.1, могут также рассматриваться как аппроксимации трендов, выделенных в результате обработки реализаций случайных процессов, т.е. как приближенные зависимости математического ожидания от времени.
2. Задача о замене оборудования
Задан отрезок времени длительностью лет. Требуется решить вопрос о том, когда на этом отрезке времени предприятие должно производить замену используемого оборудования с тем, чтобы обеспечить получение максимальной суммарной прибыли.
Пусть – календарные годы;– возраст оборудования (в годах), используемого в-м году;– максимально допустимый возраст оборудования;– стоимость приобретаемого оборудования;– прибыль за-й год, получаемая при использовании оборудования возраста, причем, где– стоимость, создаваемая за-й год оборудованием возраста,– годовые эксплуатационные расходы на оборудование возрастав-м году. Введем также переменную, с помощью которой выразим соответствующие управленческие решения:
Если , то. Припеременная принимает значениеили.
В соответствии с вышеизложенным, . Кроме того,
или .
Суммарная прибыль на рассматриваемом отрезке времени составит
и, таким образом, соответствующая задача динамического программирования может быть сформулирована в виде:
(4.1.3)