Здесь по крайней мере одна из функций является нелинейной. Следует отметить, что задачи нелинейного программирования представляют практический интерес, но, за малым исключением, поддаются лишь чис-

ленным методам решения. Важным классом задач, для которых удается получить решение, являются задачи выпуклого программирования. В задаче выпуклого программирования целевая функция выпукла, а ограничения задаются выпуклыми функциями. Перейдем к рассмотрению элементов выпуклого анализа – области математики, в которой изучаются свойства выпуклых множеств и выпуклых функций, и которая играет фундаментальную роль в теории и методах решения экстремальных задач.

3.1. Элементы выпуклого анализа

Множество называется выпуклым, если с любыми двумя точкамионо содержит отрезок, их соединяющий. Иначе это определение можно сформулировать так: множествовыпукло, еслиточкапри всех. На рис. 3.1.1 представлена геометрическая иллюстрация выпуклого и невыпуклого множеств.

Рис. 3.1.1. Геометрическая иллюстрация выпуклого (а) и невыпуклого (б) множеств

Пространство образует выпуклое множество. Пустое множество и множество, состоящее из одной точки, удобно считать выпуклыми. Тогда из определения выпуклого множества следует, что пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством.

Функция , определенная на выпуклом множестве, называется выпуклой на этом множестве, есливыполнено неравенство

(3.1.1)

На рис. 3.1.2 в качестве примера приведен график выпуклой функции одной переменной . Выпуклую функцию можно определить как функцию,

Рис. 3.1.2. Пример выпуклой функции одной переменной

над графиком которой – выпуклое множество.

Функция называется вогнутой на выпуклом множестве, если функциявыпукла на. Вогнутую функцию можно определить также как функцию, под графиком которой – выпуклое множество.

Существуют подклассы выпуклых функций. Так, функция , определенная на выпуклом множестве, называется строго выпуклой на, еслииравенство в (3.1.1) имеет место только прии.

Функция называется строго вогнутой на выпуклом множестве, если функциястрого выпукла на.

Например, функция одной переменной является одновременно выпуклой и вогнутой на, однако не является ни строго выпуклой, ни строго вогнутой.

Функция , определенная на выпуклом множестве, называется сильно выпуклой (сильно выпуклой с константой) на, есливыполнено неравенство

(3.1.2)

где ,– евклидова норма (длина вектора):

(3.1.3)

Функция , определенная на выпуклом множестве, называется сильно вогнутой на этом множестве, если функциясильно выпукла на.

Функция, сильно выпуклая на множестве , является выпуклой и строго выпуклой на этом множестве.

Пример 3.1.1. Показать, что функция одной переменной сильно выпукла на.

Левая часть неравенства (3.1.2) в данном случае принимает вид:

. (3.1.4)

Вычитая выражение (3.1.4) из первых двух слагаемых правой части неравенства (3.1.2), получим:

Таким образом, неравенство (3.1.2) превращается в тождественное равенство при и, следовательно, функция является сильно выпуклой на с константой.

В практических задачах важное значение имеет выяснение наличия у исследуемых функций свойств выпуклых функций, либо их отсутствия.

Рассмотрим некоторые теоремы, которые могут быть использованы для проверки выпуклости функций.

Теорема 3.1.1

Пусть функции – выпуклы на множествеи числанеотрицательны. Тогда функция

выпукла на множестве . Читателю предлагается доказать эту теорему самостоятельно.

Теорема 3.1.2

Дана функция , обладающая следующими свойствами:

1) функция определена на множестве,– выпуклое множество;

2) функция выпукла по;

3) функция ограничена сверху по.

Тогда функция выпукла на множестве.

Доказательство. Для любых точек и для любогоможно записать:

Таким образом, неравенство (3.1.1) выполнено, и, следовательно, теорема доказана.

В случае функций одной переменной, рассматривая индексв качестве аналога переменнойиз теоремы 3.1.2, завершающую часть формулировки этой теоремы можно записать в виде заключения о выпуклости функции

На рис. 3.1.3 представлены графики двух выпуклых функций одной переменной и. График, показанный сплошной линией, является графиком функции

,

которая согласно теореме 3.1.2 является выпуклой.

Теорема 3.1.3

Пусть функция выпукла на выпуклом множестве, а функциявыпукла и монотонно не убывает на выпуклом множестве, причем. Тогда функциявыпукла на множестве.

Рис. 3.1.3. Пример применения теоремы 3.1.2 для случая двух функций одной переменной

Доказательство. иможно записать:

(3.1.5)

Первое из приведенных неравенств справедливо на том основании, что, во-первых,

так как функция выпукла, и, во-вторых, что функциямонотонно не убывает. Справедливость второго неравенства в (3.1.5) объясняется выпуклостью функции. Теорема доказана.

Применение рассмотренных теорем к решению практических задач продемонстрируем на следующем примере.

Пример 3.1.2. Выяснить, является ли выпуклой функция

Функция является выпуклой по теореме 3.1.2. Функциявыпукла в соответствии с теоремой 3.1.1. Наконец, функция, где, является выпуклой по теореме 3.1.3. Таким обрзом, заданная в примере функция выпукла.

Следующую теорему читателю предлагается доказать самостоятельно.

Теорема 3.1.4

1. Пусть функция является строго выпуклой на выпуклом множестве. Тогдафункциястрого выпукла на.

2. Пусть функция является сильно выпуклой с константойна выпуклом множестве. Тогдафункциясильно выпукла с константойна.

3. Пусть функция выпукла на выпуклом множестве, а функциясильно выпукла с константойна. Тогда функцияявляется сильно выпуклой с константойна.

4. Пусть функция выпукла на выпуклом множестве, а функциястрого выпукла на. Тогда функцияявляется строго выпуклой на.

Заметим, что линейная функция является одновременно выпуклой и вогнутой на выпуклом множествеи что только линейные функции обладают таким свойством. При этом линейная функция не является ни строго выпуклой (вогнутой), ни сильно выпуклой (вогнутой). Всякая сильно выпуклая функция является строго выпуклой, но не наоборот. Например, функциястрого выпукла на, но не является сильно выпуклой.